Силлогистика Аристотеля-Жергонна

                             ЛЕКЦИЯ 9

                СИЛЛОГИСТИКА АРИСТОТЕЛЯ-ЖЕРГОННА



     Аристотелева силлогистика[1],традиционно излагаемая в  учеб-
никах[8,16],давно уже не устраивает логиков[2-6].Особенно возрос поток
публикаций по силлогистике в последнее  время[5,8,18].Все  это  свиде-
тельствует  о том,что проблемы анализа и синтеза силлогизмов далеки от
разрешения.Кстати,впервые правильность  модусов  Аристотеля   опроверг
Лейбниц(1646-1716),но  авторитет  основателя  логики был настолько ве-
лик,что Лейбниц посчитал свои выводы ошибочными.
     В прекрасной монографии Стяжкина Н.И.[19] приведены так  называе-
мые   "жергонновы   отношения".С   помощью   этих  отношений  Ж.Д.Жер-
гонн(1771-1859) представил все классы суждений(силлогистические  функ-
торы),выделенные  Аристотелем,на языке теории множеств.Переведем "жер-
гонновы отношения" на язык скалярных диаграмм.
     x         x'                x         x'
L=========+----------       L=========+----------
      y         y'                y'        y
L============+-------       L------------+======-
      y         y'
L=========+----------
        Axy.                        Exy.

       x'        x                 x'        x
  L---------+=========-       L---------+=========-
        y         y'                y         y'
a)L============+-------     a)L============+-------
    y'     y       y'           y'     y       y'
b)L----+========+------     b)L----+========+------
     y'        y                  y        y'
c)L------+============-     c)L======+-------------
         y'        y                 y'        y
d)L-------------+=====-     d)L-------------+=====-
       y'        y
e)L---------+=========-
           Ixy.                        Oxy.

     Скалярные диаграммы обладают хорошей наглядностью и позволяют,как
мы увидим в дальнейшем,даже школьнику легко находить графическое реше-
ние силлогизмов.Скаляры в данной ситуации отображают множества и могут
быть  описаны на языке алгебры множеств[9].Скалярным диаграммам,предс-
тавленным на рис.1-4 соответствуют таблицы истинности(табл.1-4).
    Табл.1        Табл.2      Табл.3       Табл.4
 -----T---¬    -----T---¬   -----T---¬   -----T---¬
 ¦ xy ¦Axy¦    ¦ xy ¦Exy¦   ¦ xy ¦Ixy¦   ¦ xy ¦Oxy¦
 +----+---+    +----+---+   +----+---+   +----+---+
 ¦ 00 ¦ 1 ¦    ¦ 00 ¦ 1 ¦   ¦ 00 ¦ i ¦   ¦ 00 ¦ i ¦
 ¦ 01 ¦ i ¦    ¦ 01 ¦ 1 ¦   ¦ 01 ¦ i ¦   ¦ 01 ¦ i ¦
 ¦ 10 ¦ 0 ¦    ¦ 10 ¦ 1 ¦   ¦ 10 ¦ i ¦   ¦ 10 ¦ 1 ¦
 ¦ 11 ¦ 1 ¦    ¦ 11 ¦ 0 ¦   ¦ 11 ¦ 1 ¦   ¦ 11 ¦ i ¦
 L----+----    L----+----   L----+----   L----+----
     Из таблиц истинности(табл.1-4) получаем следующие  соотноше-
ния:
     "Все  X  суть Y"       : Axy = xy+x'y'+ix'y  (1)
     "Ни один X не есть Y"  : Exy = x'+y'= (xy)'  (2)
     "Некоторые X  суть  Y" : Ixy = xy+i(xy)'     (3)
     "Некоторые X не суть Y": Oxy = xy'+i(xy')'   (4)
     Кстати из  (3)  и (4) видно,что Oxy = Ixy',что вовсе не соответс-
твует математическому смыслу функтора Oxy.
     В связи с тем,что при проверке силлогизмов потребуются отри-
цания  функций (1-4),то на основе формулы де Моргана выведем фор-
мулы (5-8):
     (Axy)' = xy'+jx'y                            (5)
     (Exy)' = xy                                  (6)
     (Ixy)' = j(xy)'                              (7)
     (Oxy)' = j(xy')'                             (8)
     Такой же результат может быть получен табличным методом,для  чего
необходимо  проинвертировать значения соответствующих силлогистических
функторов в табл.1-4.Для того,чтобы проверить  силлогизм,можно  выпол-
нить алгоритмы "Осташ-Т" и "ТВАТ".
     Проведем выборочную проверку силлогистики Аристотеля.
                            Фигура 1.
     1.1. AmxAym -> f(x,y) = mx'+jm'x+m'y+jmy'+f(x,y) = 1
                            -----T------¬      xy
   m L=========+----------  ¦ xy ¦f(x,y)¦     \ 00  01  11  10
  x1 L==============+-----  +----+------+    m \---T---T---T---¬
  x2 L=========+----------  ¦ 00 ¦  1   ¦    0 ¦   ¦ 1 ¦ 1 ¦ j ¦
  y1 L======+-------------  ¦ 01 ¦  0   ¦      +---+---+---+---+
  y2 L=========+----------  ¦ 10 ¦  i   ¦    1 ¦ 1 ¦ 1 ¦   ¦ j ¦
                            ¦ 11 ¦  1   ¦      L---+---+---+----
                            L----+-------
     Скалярные диаграммы и алгоритм "Осташ-С" дали одинаковый ре-
зультат:f(x,y) = xy+x'y'+ixy' = Ayx.
     1.2. AmxEym -> f(x,y) = mx'+jm'x+my+f(x,y) = 1(i)
                            -----T------¬      xy
   m L======+-------------  ¦ xy ¦f(x,y)¦     \ 00  01  11  10
  x1 L==============+-----  +----+------+    m \---T---T---T---¬
  x2 L======+-------------  ¦ 00 ¦  i   ¦    0 ¦   ¦   ¦ j ¦ j ¦
  y1 L---------------+===-  ¦ 01 ¦  i   ¦      +---+---+---+---+
  y2 L-------+===========-  ¦ 10 ¦  1   ¦    1 ¦ 1 ¦ 1 ¦ 1 ¦   ¦
  y3 L-------+=====+------  ¦ 11 ¦  i   ¦      L---+---+---+----
                            L----+-------
     f(x,y) = xy'+i(xy')' = Ixy' = Oxy.
     У Аристотеля этот модус считается "неправильным".

     1.6. EmxEym -> f(x,y) = mx+my+f(x,y) = 1(i)

                            -----T------¬       xy
   m L--------------+====-  ¦ xy ¦f(x,y)¦      \ 00  01  11  10
   x L=========+----------  +----+------+     m \---T---T---T---¬
  y1 L----------+==+------  ¦ 00 ¦  1   ¦     0 ¦   ¦   ¦   ¦   ¦
  y2 L=============+------  ¦ 01 ¦  i   ¦       +---+---+---+---+
  y3 L======+-------------  ¦ 10 ¦  i   ¦     1 ¦   ¦ 1 ¦ 1 ¦ 1 ¦
                            ¦ 11 ¦  i   ¦       L---+---+---+----
                            L----+-------
     f(x,y) = x'y'+i = Ix'y'(3).
     Это тоже  "неправильный" по Аристотелю модус.Очередная ошибка ве-
ликого логика.

     1.7. EmxIym -> f(x,y) = mx+jm'y'+f(x,y) = 1(i)

   m L=========+----------  -----T------¬       xy
   x L--------------+====-  ¦ xy ¦f(x,y)¦      \ 00  01  11  10
  y1 L-----+======+-------  +----+------+     m \---T---T---T---¬
  y2 L----+==============-  ¦ 00 ¦  i   ¦     0 ¦ j ¦ j ¦ j ¦ j ¦
  y3 L====+---------------  ¦ 01 ¦  1   ¦       +---+---+---+---+
  y4 L----+===========+---  ¦ 10 ¦  i   ¦     1 ¦ j ¦   ¦ 1 ¦ 1 ¦
  y5 L==================+-  ¦ 11 ¦  i   ¦       L---+---+---+----
                            L----+-------

     f(x,y) = x'y+i(x'y)' = Ix'y.
     У Аристотеля получено заключение Оху.


                            Фигура 2.

     2.1. AxmAym -> f(x,y) = m'x+jmx'+m'y+jmy'+f(x,y) = 1(i)
   m L=========+----------  -----T------¬    xy
  x1 L====+---------------  ¦ xy ¦f(x,y)¦   \ 00  01  11  10
  x2 L=========+----------  +----+------+  m \---T---T---T---¬
  y1 L=======+------------  ¦ 00 ¦  1   ¦  0 ¦   ¦ 1 ¦ 1 ¦ 1 ¦
  y2 L===+----------------  ¦ 01 ¦  i   ¦    +---+---+---+---+
  y3 L=========+----------  ¦ 10 ¦  i   ¦  1 ¦ j ¦ j ¦ j ¦ j ¦
  y4 L----+====+----------  ¦ 11 ¦  i   ¦    L---+---+---+----
                            L----+-------
     f(x,y) = x'y'+i(x'y')' = Ix'y'.
     Этот "неправильный" по Аристотелю модус также оказался правильным.

     2.7. ExmIym -> f(x,y) = mx+j(my)'+f(x,y) = 1(i)
                            -----T------¬    xy
   m L=========+----------  ¦ xy ¦f(x,y)¦   \ 00  01  11  10
   x L--------------+====-  +----+------+  m \---T---T---T---¬
  y1 L================+---  ¦ 00 ¦  i   ¦  0 ¦ j ¦ j ¦ j ¦ j ¦
  y2 L===========+--------  ¦ 01 ¦  1   ¦    +---+---+---+---+
  y3 L-----+=============-  ¦ 10 ¦  i   ¦  1 ¦ j ¦   ¦ 1 ¦ 1 ¦
  y4 L===+----------------  ¦ 11 ¦  i   ¦    L---+---+---+----
                            L----+-------
     f(x,y) = x'y+i(x'y)' = Ix'y.
     У Аристотеля этот модус имеет вид EIO.






                            Фигура 3.
     3.2. AmxEmy -> f(x,y) = mx'+jm'x+my+f(x,y) = 1(i)
                            -----T------¬    xy
   m L=========+----------  ¦ xy ¦f(x,y)¦   \ 00  01  11  10
  x1 L============+-------  +----+------+  m \---T---T---T---¬
  x2 L=========+----------  ¦ 00 ¦  i   ¦  0 ¦   ¦   ¦ j ¦ j ¦
  y1 L--------------+====-  ¦ 01 ¦  i   ¦    +---+---+---+---+
  y2 L----------+========-  ¦ 10 ¦  1   ¦  1 ¦ 1 ¦ 1 ¦ 1 ¦   ¦
  y3 L---------+=+--------  ¦ 11 ¦  i   ¦    L---+---+---+----
                            L----+-------
     f(x,y) = xy'+i(xy')' = Ixy'.
     У Аристотеля этот модус - "неправильный".

     3.5. EmxAmy -> f(x,y) = mx+my'+f(x,y) = 1(i)
                            -----T------¬
  m L=========+----------   ¦ xy ¦f(x,y)¦       xy
  x L------------+======-   +----+------+      \ 00  01  11  10
  y1L=========+----------   ¦ 00 ¦  i   ¦     m \---T---T---T---¬
  y2L==============+-----   ¦ 01 ¦  1   ¦     0 ¦   ¦ j ¦ j ¦   ¦
  y3L=========+--+======-   ¦ 10 ¦  i   ¦       +---+---+---+---+
                            ¦ 11 ¦  i   ¦     1 ¦ 1 ¦   ¦ 1 ¦ 1 ¦
                            L----+-------       L---+---+---+----
     f(x,y) = x'y+i(x'y)' = Ix'y.
     "Правильный" модус - EAO.

     3.13.OmxAmy -> f(x,y) = j(mx')'+my'+jm'y+f(x,y) = 1(i)
   m L=========+----------   -----T------¬    xy
  x1 L-------------+=====-   ¦ xy ¦f(x,y)¦   \ 00  01  11  10
  x2 L----+==============-   +----+------+  m \---T---T---T---¬
  x3 L=====+--------------   ¦ 00 ¦  i   ¦  0 ¦ j ¦ j ¦ j ¦ j ¦
  y1 L=============+------   ¦ 01 ¦  1   ¦    +---+---+---+---+
  y2 L=========+----------   ¦ 10 ¦  i   ¦  1 ¦ 1 ¦   ¦ j ¦ 1 ¦
  y3 L=========+---+=====-   ¦ 11 ¦  i   ¦    L---+---+---+----
                             L----+-------
     f(x,y) = Ix'y.
     "Правильный" модус - OAO.Очередная ошибка классической логики.

                            Фигура 4.
     4.1. AxmAmy -> f(x,y) = m'x+jmx'+my'+f(x,y) = 1
   m L=========+----------  -----T------¬    xy
  x1 L====+---------------  ¦ xy ¦f(x,y)¦   \ 00  01  11  10
  x2 L=========+----------  +----+------+  m \---T---T---T---¬
  y1 L============+-------  ¦ 00 ¦  1   ¦  0 ¦   ¦ j ¦ 1 ¦ 1 ¦
  y2 L=========+----------  ¦ 01 ¦  i   ¦    +---+---+---+---+
                            ¦ 10 ¦  0   ¦  1 ¦ 1 ¦ j ¦   ¦ 1 ¦
                            ¦ 11 ¦  1   ¦    L---+---+---+----
                            L----+-------
     f(x,y) = x'y'+xy+ix'y = Axy.
     Грубейшая ошибка классической логики,которая настаивает на модусе
AAI.

     4.5. ExmAmy -> f(x,y) = mx+my'+jm'y+f(x,y) = 1(i)
                            -----T------¬    xy
  m L=========+----------   ¦ xy ¦f(x,y)¦   \ 00  01  11  10
  x L--------------+====-   +----+------+  m \---T---T---T---¬
  y1L================+---   ¦ 00 ¦  i   ¦  0 ¦   ¦ j ¦ j ¦   ¦
  y2L=========+----------   ¦ 01 ¦  1   ¦    +---+---+---+---+
  y3L=========+---+=====-   ¦ 10 ¦  i   ¦  1 ¦ 1 ¦   ¦ 1 ¦ 1 ¦
                            ¦ 11 ¦  i   ¦    L---+---+---+----
                            L----+-------
     f(x,y) = Ix'y.
     "Правильный" модус EAO - очередная ошибка классической логики.

     В результате получим следующие правильные модусы:
 1-я фигура: AAA,AEO,AII,AOI,EAE,EEI,EII,EOI,IEO,OEI.
 2-я фигура: AAI,AEE,AII,AOI,EAE,EEI,EII,IEO,OAO.
 3-я фигура: AAI,AEI,AII,AOO,EAI,EEI,EII,EOI,IAI,IEO,OAI,OEI.
 4-я фигура: AAA,AEE,EAI,EEI,EII,EOI,IAI,IEI.
     Полученные результаты очевидны,однако в большей своей части  дан-
ные модусы не совпадают с традиционными "правильными" силлогизмами[8].
     Пример.
     В замечательной книге известного автора и политического легендар-
ного  деятеля  России начала 20-го века В.В.Шульгина "Что нам в них не
нравится"(М.:"Хорс",1992) на стр.210 есть интересный пример применения
классической силлогистики для решения спорного вопроса.
     "...Карл Маркс плох,говорю я, - большая посылка. Карл Маркс - ев-
рей, - малая посылка. Вывод:еврей - плох,не годится в качестве руково-
дителя."
     Прав ли автор?  Здравый смысл не согласен с таким выводом. Прове-
рим формально по алгоритму ИЭИ силлогизм В.В.Шульгина.
     Карл Маркс - m
     плохой     - x
     еврей      - y
     M = AmxAmy = (m'+x)(m'+y) = m'+xy
     f(x,y) = xy+i = Ixy(3)
     Таким образом,мы получили следующее заключение  (в  Аристотелевом
базисе):"Некоторые евреи - плохие люди".  Такой вывод  справедлив  для
любой нации,хотя  с позиции здравого смысла здесь нельзя сделать ника-
кого заключения. Следовательно, В.В.Шульгин ошибся в силлогистике.

     Соотношения (1) - (4) описывают аристотелевскую логику,которая не
соответствует  требованиям,предъявленным  русским  ученым   Васильевым
Н.А.[6]  к частным суждениям с научной точки зрения и с позиции логики
здравого смысла.Поэтому логика Аристотеля-Жергонна представляет  инте-
рес с чисто научно-исторической точки зрения.
     Некоторые дополнительные аспекты проблем современной  силло-
гистики изложены в [13].

               Домашнее задание.
     1.Проверить все "правильные" Аристотелевы модусы на основе базиса
Аристотеля-Жергонна.
     2.Найти заключения для AxmImy',EmxIm'y,AmxIm'y',Am'xIxy.

Hosted by uCoz