Силлогистика Аристотеля-Жергонна
ЛЕКЦИЯ 9 СИЛЛОГИСТИКА АРИСТОТЕЛЯ-ЖЕРГОННА Аристотелева силлогистика[1],традиционно излагаемая в учеб- никах[8,16],давно уже не устраивает логиков[2-6].Особенно возрос поток публикаций по силлогистике в последнее время[5,8,18].Все это свиде- тельствует о том,что проблемы анализа и синтеза силлогизмов далеки от разрешения.Кстати,впервые правильность модусов Аристотеля опроверг Лейбниц(1646-1716),но авторитет основателя логики был настолько ве- лик,что Лейбниц посчитал свои выводы ошибочными. В прекрасной монографии Стяжкина Н.И.[19] приведены так называе- мые "жергонновы отношения".С помощью этих отношений Ж.Д.Жер- гонн(1771-1859) представил все классы суждений(силлогистические функ- торы),выделенные Аристотелем,на языке теории множеств.Переведем "жер- гонновы отношения" на язык скалярных диаграмм. x x' x x' L=========+---------- L=========+---------- y y' y' y L============+------- L------------+======- y y' L=========+---------- Axy. Exy. x' x x' x L---------+=========- L---------+=========- y y' y y' a)L============+------- a)L============+------- y' y y' y' y y' b)L----+========+------ b)L----+========+------ y' y y y' c)L------+============- c)L======+------------- y' y y' y d)L-------------+=====- d)L-------------+=====- y' y e)L---------+=========- Ixy. Oxy. Скалярные диаграммы обладают хорошей наглядностью и позволяют,как мы увидим в дальнейшем,даже школьнику легко находить графическое реше- ние силлогизмов.Скаляры в данной ситуации отображают множества и могут быть описаны на языке алгебры множеств[9].Скалярным диаграммам,предс- тавленным на рис.1-4 соответствуют таблицы истинности(табл.1-4). Табл.1 Табл.2 Табл.3 Табл.4 -----T---¬ -----T---¬ -----T---¬ -----T---¬ ¦ xy ¦Axy¦ ¦ xy ¦Exy¦ ¦ xy ¦Ixy¦ ¦ xy ¦Oxy¦ +----+---+ +----+---+ +----+---+ +----+---+ ¦ 00 ¦ 1 ¦ ¦ 00 ¦ 1 ¦ ¦ 00 ¦ i ¦ ¦ 00 ¦ i ¦ ¦ 01 ¦ i ¦ ¦ 01 ¦ 1 ¦ ¦ 01 ¦ i ¦ ¦ 01 ¦ i ¦ ¦ 10 ¦ 0 ¦ ¦ 10 ¦ 1 ¦ ¦ 10 ¦ i ¦ ¦ 10 ¦ 1 ¦ ¦ 11 ¦ 1 ¦ ¦ 11 ¦ 0 ¦ ¦ 11 ¦ 1 ¦ ¦ 11 ¦ i ¦ L----+---- L----+---- L----+---- L----+---- Из таблиц истинности(табл.1-4) получаем следующие соотноше- ния: "Все X суть Y" : Axy = xy+x'y'+ix'y (1) "Ни один X не есть Y" : Exy = x'+y'= (xy)' (2) "Некоторые X суть Y" : Ixy = xy+i(xy)' (3) "Некоторые X не суть Y": Oxy = xy'+i(xy')' (4) Кстати из (3) и (4) видно,что Oxy = Ixy',что вовсе не соответс- твует математическому смыслу функтора Oxy. В связи с тем,что при проверке силлогизмов потребуются отри- цания функций (1-4),то на основе формулы де Моргана выведем фор- мулы (5-8): (Axy)' = xy'+jx'y (5) (Exy)' = xy (6) (Ixy)' = j(xy)' (7) (Oxy)' = j(xy')' (8) Такой же результат может быть получен табличным методом,для чего необходимо проинвертировать значения соответствующих силлогистических функторов в табл.1-4.Для того,чтобы проверить силлогизм,можно выпол- нить алгоритмы "Осташ-Т" и "ТВАТ". Проведем выборочную проверку силлогистики Аристотеля. Фигура 1. 1.1. AmxAym -> f(x,y) = mx'+jm'x+m'y+jmy'+f(x,y) = 1 -----T------¬ xy m L=========+---------- ¦ xy ¦f(x,y)¦ \ 00 01 11 10 x1 L==============+----- +----+------+ m \---T---T---T---¬ x2 L=========+---------- ¦ 00 ¦ 1 ¦ 0 ¦ ¦ 1 ¦ 1 ¦ j ¦ y1 L======+------------- ¦ 01 ¦ 0 ¦ +---+---+---+---+ y2 L=========+---------- ¦ 10 ¦ i ¦ 1 ¦ 1 ¦ 1 ¦ ¦ j ¦ ¦ 11 ¦ 1 ¦ L---+---+---+---- L----+------- Скалярные диаграммы и алгоритм "Осташ-С" дали одинаковый ре- зультат:f(x,y) = xy+x'y'+ixy' = Ayx. 1.2. AmxEym -> f(x,y) = mx'+jm'x+my+f(x,y) = 1(i) -----T------¬ xy m L======+------------- ¦ xy ¦f(x,y)¦ \ 00 01 11 10 x1 L==============+----- +----+------+ m \---T---T---T---¬ x2 L======+------------- ¦ 00 ¦ i ¦ 0 ¦ ¦ ¦ j ¦ j ¦ y1 L---------------+===- ¦ 01 ¦ i ¦ +---+---+---+---+ y2 L-------+===========- ¦ 10 ¦ 1 ¦ 1 ¦ 1 ¦ 1 ¦ 1 ¦ ¦ y3 L-------+=====+------ ¦ 11 ¦ i ¦ L---+---+---+---- L----+------- f(x,y) = xy'+i(xy')' = Ixy' = Oxy. У Аристотеля этот модус считается "неправильным". 1.6. EmxEym -> f(x,y) = mx+my+f(x,y) = 1(i) -----T------¬ xy m L--------------+====- ¦ xy ¦f(x,y)¦ \ 00 01 11 10 x L=========+---------- +----+------+ m \---T---T---T---¬ y1 L----------+==+------ ¦ 00 ¦ 1 ¦ 0 ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ y2 L=============+------ ¦ 01 ¦ i ¦ +---+---+---+---+ y3 L======+------------- ¦ 10 ¦ i ¦ 1 ¦ ¦ 1 ¦ 1 ¦ 1 ¦ ¦ 11 ¦ i ¦ L---+---+---+---- L----+------- f(x,y) = x'y'+i = Ix'y'(3). Это тоже "неправильный" по Аристотелю модус.Очередная ошибка ве- ликого логика. 1.7. EmxIym -> f(x,y) = mx+jm'y'+f(x,y) = 1(i) m L=========+---------- -----T------¬ xy x L--------------+====- ¦ xy ¦f(x,y)¦ \ 00 01 11 10 y1 L-----+======+------- +----+------+ m \---T---T---T---¬ y2 L----+==============- ¦ 00 ¦ i ¦ 0 ¦ j ¦ j ¦ j ¦ j ¦ y3 L====+--------------- ¦ 01 ¦ 1 ¦ +---+---+---+---+ y4 L----+===========+--- ¦ 10 ¦ i ¦ 1 ¦ j ¦ ¦ 1 ¦ 1 ¦ y5 L==================+- ¦ 11 ¦ i ¦ L---+---+---+---- L----+------- f(x,y) = x'y+i(x'y)' = Ix'y. У Аристотеля получено заключение Оху. Фигура 2. 2.1. AxmAym -> f(x,y) = m'x+jmx'+m'y+jmy'+f(x,y) = 1(i) m L=========+---------- -----T------¬ xy x1 L====+--------------- ¦ xy ¦f(x,y)¦ \ 00 01 11 10 x2 L=========+---------- +----+------+ m \---T---T---T---¬ y1 L=======+------------ ¦ 00 ¦ 1 ¦ 0 ¦ ¦ 1 ¦ 1 ¦ 1 ¦ y2 L===+---------------- ¦ 01 ¦ i ¦ +---+---+---+---+ y3 L=========+---------- ¦ 10 ¦ i ¦ 1 ¦ j ¦ j ¦ j ¦ j ¦ y4 L----+====+---------- ¦ 11 ¦ i ¦ L---+---+---+---- L----+------- f(x,y) = x'y'+i(x'y')' = Ix'y'. Этот "неправильный" по Аристотелю модус также оказался правильным. 2.7. ExmIym -> f(x,y) = mx+j(my)'+f(x,y) = 1(i) -----T------¬ xy m L=========+---------- ¦ xy ¦f(x,y)¦ \ 00 01 11 10 x L--------------+====- +----+------+ m \---T---T---T---¬ y1 L================+--- ¦ 00 ¦ i ¦ 0 ¦ j ¦ j ¦ j ¦ j ¦ y2 L===========+-------- ¦ 01 ¦ 1 ¦ +---+---+---+---+ y3 L-----+=============- ¦ 10 ¦ i ¦ 1 ¦ j ¦ ¦ 1 ¦ 1 ¦ y4 L===+---------------- ¦ 11 ¦ i ¦ L---+---+---+---- L----+------- f(x,y) = x'y+i(x'y)' = Ix'y. У Аристотеля этот модус имеет вид EIO. Фигура 3. 3.2. AmxEmy -> f(x,y) = mx'+jm'x+my+f(x,y) = 1(i) -----T------¬ xy m L=========+---------- ¦ xy ¦f(x,y)¦ \ 00 01 11 10 x1 L============+------- +----+------+ m \---T---T---T---¬ x2 L=========+---------- ¦ 00 ¦ i ¦ 0 ¦ ¦ ¦ j ¦ j ¦ y1 L--------------+====- ¦ 01 ¦ i ¦ +---+---+---+---+ y2 L----------+========- ¦ 10 ¦ 1 ¦ 1 ¦ 1 ¦ 1 ¦ 1 ¦ ¦ y3 L---------+=+-------- ¦ 11 ¦ i ¦ L---+---+---+---- L----+------- f(x,y) = xy'+i(xy')' = Ixy'. У Аристотеля этот модус - "неправильный". 3.5. EmxAmy -> f(x,y) = mx+my'+f(x,y) = 1(i) -----T------¬ m L=========+---------- ¦ xy ¦f(x,y)¦ xy x L------------+======- +----+------+ \ 00 01 11 10 y1L=========+---------- ¦ 00 ¦ i ¦ m \---T---T---T---¬ y2L==============+----- ¦ 01 ¦ 1 ¦ 0 ¦ ¦ j ¦ j ¦ ¦ y3L=========+--+======- ¦ 10 ¦ i ¦ +---+---+---+---+ ¦ 11 ¦ i ¦ 1 ¦ 1 ¦ ¦ 1 ¦ 1 ¦ L----+------- L---+---+---+---- f(x,y) = x'y+i(x'y)' = Ix'y. "Правильный" модус - EAO. 3.13.OmxAmy -> f(x,y) = j(mx')'+my'+jm'y+f(x,y) = 1(i) m L=========+---------- -----T------¬ xy x1 L-------------+=====- ¦ xy ¦f(x,y)¦ \ 00 01 11 10 x2 L----+==============- +----+------+ m \---T---T---T---¬ x3 L=====+-------------- ¦ 00 ¦ i ¦ 0 ¦ j ¦ j ¦ j ¦ j ¦ y1 L=============+------ ¦ 01 ¦ 1 ¦ +---+---+---+---+ y2 L=========+---------- ¦ 10 ¦ i ¦ 1 ¦ 1 ¦ ¦ j ¦ 1 ¦ y3 L=========+---+=====- ¦ 11 ¦ i ¦ L---+---+---+---- L----+------- f(x,y) = Ix'y. "Правильный" модус - OAO.Очередная ошибка классической логики. Фигура 4. 4.1. AxmAmy -> f(x,y) = m'x+jmx'+my'+f(x,y) = 1 m L=========+---------- -----T------¬ xy x1 L====+--------------- ¦ xy ¦f(x,y)¦ \ 00 01 11 10 x2 L=========+---------- +----+------+ m \---T---T---T---¬ y1 L============+------- ¦ 00 ¦ 1 ¦ 0 ¦ ¦ j ¦ 1 ¦ 1 ¦ y2 L=========+---------- ¦ 01 ¦ i ¦ +---+---+---+---+ ¦ 10 ¦ 0 ¦ 1 ¦ 1 ¦ j ¦ ¦ 1 ¦ ¦ 11 ¦ 1 ¦ L---+---+---+---- L----+------- f(x,y) = x'y'+xy+ix'y = Axy. Грубейшая ошибка классической логики,которая настаивает на модусе AAI. 4.5. ExmAmy -> f(x,y) = mx+my'+jm'y+f(x,y) = 1(i) -----T------¬ xy m L=========+---------- ¦ xy ¦f(x,y)¦ \ 00 01 11 10 x L--------------+====- +----+------+ m \---T---T---T---¬ y1L================+--- ¦ 00 ¦ i ¦ 0 ¦ ¦ j ¦ j ¦ ¦ y2L=========+---------- ¦ 01 ¦ 1 ¦ +---+---+---+---+ y3L=========+---+=====- ¦ 10 ¦ i ¦ 1 ¦ 1 ¦ ¦ 1 ¦ 1 ¦ ¦ 11 ¦ i ¦ L---+---+---+---- L----+------- f(x,y) = Ix'y. "Правильный" модус EAO - очередная ошибка классической логики. В результате получим следующие правильные модусы: 1-я фигура: AAA,AEO,AII,AOI,EAE,EEI,EII,EOI,IEO,OEI. 2-я фигура: AAI,AEE,AII,AOI,EAE,EEI,EII,IEO,OAO. 3-я фигура: AAI,AEI,AII,AOO,EAI,EEI,EII,EOI,IAI,IEO,OAI,OEI. 4-я фигура: AAA,AEE,EAI,EEI,EII,EOI,IAI,IEI. Полученные результаты очевидны,однако в большей своей части дан- ные модусы не совпадают с традиционными "правильными" силлогизмами[8]. Пример. В замечательной книге известного автора и политического легендар- ного деятеля России начала 20-го века В.В.Шульгина "Что нам в них не нравится"(М.:"Хорс",1992) на стр.210 есть интересный пример применения классической силлогистики для решения спорного вопроса. "...Карл Маркс плох,говорю я, - большая посылка. Карл Маркс - ев- рей, - малая посылка. Вывод:еврей - плох,не годится в качестве руково- дителя." Прав ли автор? Здравый смысл не согласен с таким выводом. Прове- рим формально по алгоритму ИЭИ силлогизм В.В.Шульгина. Карл Маркс - m плохой - x еврей - y M = AmxAmy = (m'+x)(m'+y) = m'+xy f(x,y) = xy+i = Ixy(3) Таким образом,мы получили следующее заключение (в Аристотелевом базисе):"Некоторые евреи - плохие люди". Такой вывод справедлив для любой нации,хотя с позиции здравого смысла здесь нельзя сделать ника- кого заключения. Следовательно, В.В.Шульгин ошибся в силлогистике. Соотношения (1) - (4) описывают аристотелевскую логику,которая не соответствует требованиям,предъявленным русским ученым Васильевым Н.А.[6] к частным суждениям с научной точки зрения и с позиции логики здравого смысла.Поэтому логика Аристотеля-Жергонна представляет инте- рес с чисто научно-исторической точки зрения. Некоторые дополнительные аспекты проблем современной силло- гистики изложены в [13]. Домашнее задание. 1.Проверить все "правильные" Аристотелевы модусы на основе базиса Аристотеля-Жергонна. 2.Найти заключения для AxmImy',EmxIm'y,AmxIm'y',Am'xIxy.