Понятие. Основные законы логики суждений.

                             ЛЕКЦИЯ 5
                             --------

                               Понятие.

     Понятие -  это форма мышления,отражающая предметы в их существен-
ных признаках[8].  Признаком предмета  называется  то,в  чем  предметы
сходны друг  с  другом  или чем они друг от друга отличаются.Понятие -
это мысленное содержание слова,а слово - это метка мысли.
     Автомобиль - транспортное средство,имеющее двигатель,кузов,колеса
и устройство управления. Это содержание понятия, а его объемом являют-
ся все существующие в мире автомобили.
     Универсум - мир как целое.Такая философская трактовка некорректна.

                Основные законы логики суждений.


     Все законы логики предложений выводятся формальными методами.Имп-
ликация при этом играет главную роль.Рассмотрим эту  логическую  функ-
цию,заданную таблицей истинности(табл.1).
            Табл.1
     ------T-------¬
     ¦ p q ¦  p->q ¦
     +-----+-------+
     ¦ 0 0 ¦   1   ¦
     ¦ 0 1 ¦   1   ¦
     ¦ 1 0 ¦   0   ¦
     ¦ 1 1 ¦   1   ¦
     L-----+--------
     Из табл.1 p -> q = p' + q,откуда,решая логическое уравнение(с ре-
шением логических уравнений мы познакомимся несколько позднее),получим
q  =  p  + ip',т.е.  если истинно p,то истинно и q,или из истинности p
следует истинность q.Здесь и в дальнейшем апостроф  означает  инверсию
аргумента  или  функции.Пусть  p  -  "Перегорел предохранитель ",а q -
"Лампа гаснет".Тогда p->q означает,что  "Лампа  гаснет,если  перегорел
предохранитель или возможно погаснет по какой-либо другой причине".
     В [7] изложены правила и законы логики предложений,но отсутствует
аналитическое доказательство этих законов.До сих пор для подтверждения
истинности суждений применяется  громоздкий  табличный  метод.Приведем
простые аналитические  доказательства для всех изложенных в [7] правил
и законов.Однако,все операции удобнее было бы проводить  графически  с
помощью карт Карно.

     Правило отделения
     p -> q
     p
     ______
     q
     Доказательство этого правила предельно просто:
     (p->q)p -> q = (p'+q)p->q = pq->q = (pq)'+q = p'+q'+q = 1
     Законы логики предложений
     1.Закон исключенного третьего
       p+p' = 1
     2.Закон непротиворечивости
       p(p)' = 0
     3.Законы двойного отрицания
       3.1.p'' -> p
           p''->p = p'+p = 1
       3.2.p -> p''
           p -> p'' = p'+p = 1
     4.Закон контрапозиции
       (p->q) -> (q'->p')
       (p->q) -> (q'->p') = (p'+q)'+(q+p') = pq'+q+p' = 1

     5.Конъюнктивные законы
       5.1.pq -> qp
           pq -> qp = (pq)'+pq = p'+q'+pq = 1
       5.2.pq -> p
           pq -> p = (pq)'+p = p'+q'+p = 1
       5.3.pq -> q
           pq -> q = (pq)'+q = p'+q'+q = 1
       5.4.p -> (q -> pq)
           p -> (q -> pq) = p'+q'+pq = 1
     6.Законы импликативных силлогизмов
       6.1.[(p->q)(p->r)] -> (p->qr)
           [(p->q)(p->r)] -> (p->qr) = [(p'+q)(p'+r)] -> (p'+qr) =
           (p'+qr)'+p'+qr = 1
       6.2.[(p->q)(r->s)] -> (pr->qs)
           [(p->q)(r->s)] -> (pr->qs) = (p->q)'+(r->s)'+(pr)'+qs =
           pq'+rs'+p'+r'+qs = 1
       6.3.[(p->q)(q->r)] -> (p->r)
           [(p->q)(q->r)] -> (p->r) = (p->q)'+(q->r)'+p'+r =
           pq'+qr'+p'+r = 1
       6.4.[(p->q)(r->q)] -> [(p+r)->q]
           [(p->q)(r->q)] -> [(p+r)->q] = (p->q)'+(r->q)'+(p+r)'+q =
           pq'+rq'+p'r'+q = 1
     7.Дизъюнктивные законы
       7.1.(p+q) -> (q+p)
           (p+q) -> (q+p) = p'q'+q+p = 1
       7.2.(p+q) -> (p'->q)
           (p+q) -> (p'->q) = p'q'+p+q = 1
     8.Законы,характеризующие эквивалентность
       8.1.(p=q) -> (q=p)
           (p=q) -> (q=p) = pq'+p'q+pq+p'q' = 1
       8.2.(p=q) -> (p->q)
           (p=q) -> (p->q) = pq'+p'q+p'+q = 1
       8.3.(p=q) -> (q->p)
           (p=q) -> (q->p) = pq'+p'q+q'+p = 1
       8.4.[(p->q)(q->p)] -> (p=q)
           [(p->q)(q->p)] -> (p=q) = (p->q)'+(q->p)'+(p=q) =
           pq'+qp'+pq+p'q' = 1
     9.Законы де Моргана
       9.1.(p+q)' -> p'q'
           (p+q)' -> p'q' = p'q'+p+q = 1
       9.2.(pq)' -> (p'+q')
           (pq)' -> (p'+q') = p'+q'+pq = 1
     Как видим,доказательство  всех законов чрезвычайно просто и пост-
роено на чистой математике,для освоения которой  достачно  знаний  на-
чальной школы.

                              Упражнения.

     Проверить истинность следующих формул.

     1.(p->q) -> (p'+q)
     2.(p->q) ->(q->p)
     3.(p'->q) -> (q'->p)
     4.(p->q)q' -> p'
     5.(pq+q) -> pq
     6.[(p->q)+(p->r)] -> [p->(q+r)]
     7.[(p->q)->r] ->(q->r)
     8.[(p->q)(r->q)] -> (pr->q)
     9.(p->q) -> [(r->q) -> (qr->p)]
    10.[(p->q) -> (q->r)] -> (p->r)
    11.(p->q)(q->r) -> (p->r)
    12.(pq')'(qr')' -> (pr')'
     Две последних формулы  соответствуют  "неправильному"  силлогизму
ApqAqr -> Apr.Например:
     Все студенты(p) - люди(q)
     Все люди(q) - талантливы(r)
     -------------------------------
     Все студенты(p) - талантливы(r).