Недостатки и ошибки классической логики
Аннотация
В статье анализируются недостатки и грубейшие ошибки классической логики в таких её разделах как логика суждений и логика предикатов. Отмечается недопустимость преподавания логики с подобными изъянами. Предлагаются простые, доступные пониманию школьников, математические методы решения проблем логики, возраст которых превышает 24 века. Впервые в мире решена задача Лейбница о переводе логики на математическую основу. Методы апробированы в течение 6-летноего преподавания в школах и колледжах, при чтении лекций в НПФ "Знание", в докладах на международных конференциях по проблемам логики. Результаты автора изложены в многочисленных отечественных и зарубежных публикациях.
Фундаментом классической логики служат логика суждений и логика предикатов (силлогистика). До сих пор доказательство различных логических законов ведётся на основе громоздких таблиц истинности, что лишний раз свидетельствует о низком профессиональном уровне "классиков". Переход к аналитическим методам доказательства предельно прост, но почему-то никто из "логиков"[1] до него не додумался. Возможно "профессионалов" отпугивает минимизация логических функций. Действительно, если использовать традиционные методы (Квайна, Блека - Порецкого), то проводить аналитическое доказательство не захочется. Поэтому автор ещё в 1977г. разработал алгоритмы для работы с картами Карно, что существенно упростило минимизацию[2, 3]. На основе этих алгоритмов были разработаны новые методы анализа и синтеза законов логики суждений, силлогизмов, соритов, полисиллогизмов и решения логических уравнений[5 - 18, 29]. Начнём с доказательства законов логики суждений и анализа заключений импликативных силлогизмов.
Алгоритм "Импульс".
Алгоритм анализа (доказательства) законов логики суждений чрезвычайно прост (здесь и далее апостроф означает отрицание):
Воспользуемся алгоритмом "Импульс" для доказательства наиболее интересных законов логики суждений.
Законы импликативных силлогизмов
1.Если [(если р, то q) и (если р,то r)], то [если р, то(q и r )]. [(p -> q)(p -> r)] -> (p -> qr) = [(p' + q)(p' + r)]' + (p' + qr) = = (p'+qr)'+p'+qr = 1. 2.Если [(если р, то q) и (если r,то s)],то [если(р и r),то (q и s)]. [(p->q)(r->s)] -> (pr->qs) = [(p'+q)(r'+s)]'+p'+r'+qs = = pq'+rs'+p'+r'+qs = 1. 3.Если [(если р, то q) и (если q, то r)],то (если р, то r). [(p->q)(q->r)] -> (p->r) = pq'+qr'+p'+r = 1. 4.Если [(если р, то q) и (если r, то q)],то [если (р или r), то q]. [(p->q)(r->q)] -> [(p+r) ->q] = pq'+rq'+p'r'+q = 1.
Как видит читатель, такие законы можно "изобретать" и доказывать десятками. Во всех выводах применялась аналитическая минимизация логических функций. Однако значительно проще для этой цели использовать карты Карно[2, 3].
Решим аналитически одну из задач Катречко[4, 6].
Задача
Если бог существует, то он всемогущ и всеблаг. Бог или бессилен предотвратить зло, или он не желает предотвращать его( зло существует на Земле). Если бог всемогущ, то неверно, что он бессилен предотвратить зло. Если бог всеблаг, то неверно, что он не желает предотвращать зло. Следовательно, неверно, что бог существует.
Решение
X - бог всемогущ, Y - бог всеблаг, Z - бог существует, U - зло существует, V - бог бессилен против зла, W - бог желает предотвратить зло. (z -> xy)u(u -> (v+w'))(x -> v')(y -> w) -> z' = = (z'+xy)u(u'+v+w')(x'+v')(y'+w) -> z' = = z(x'+y')+u'+uv'w+xv+yw'+z' = 1.
Мы строго математически доказали, что вера в бога ошибочна. Это верно при условии, что все наши посылки корректны. Здесь для минимизации логической функции была использована карта Карно от 6 переменных. Аналитический метод минимизации был бы чрезвычайно утомителен и без гарантии успеха, а применение машинной минимизации - неэффективно: "из пушки по воробьям". Полное решение всех задач Катречко можно найти в [6].
Важнейшим разделом классической логики является силлогистика, или логика предикатов. Силлогизм - это умозаключение, в котором из двух посылок, связанных общим термином, выводится заключение. Силлогистика - раздел логики, занимающийся анализом и синтезом силлогизмов. Изучение этого раздела невозможно без решения задач, что вызывает непреодолимые трудности не только у студентов, но и у преподавателей. Ни один академик не умеет решать задачи по силлогистике. О формальных методах анализа и синтеза силлогизмов мечтал самый выдающийся математик всех времён и народов Г.В. Лейбниц: "Единственное средство улучшить наши умозаключения состоит в том, чтобы сделать их столь же наглядными, как и у математиков, - такими, что их ошибочность можно было бы увидеть глазами, и если между людьми возникают разногласия, достаточно было бы только сказать: "Вычислим! " - чтобы без долгих рассуждений стало ясно, кто прав".
Для общеразговорной логики вполне достаточно трёх или даже двух (Axy и Ixy) базовых суждений (силлогистических функторов):
Для создания истинно математической силлогистики необходимо прежде всего аналитически описать все силлогистические функторы. До сих пор ни в одном учебнике таких формул нет. Поскольку функторы описывают множества, то для их отображения были созданы круги Эйлера, диаграммы Венна и диаграммы Ламберта. Они не решили поставленной задачи. Автору пришлось ввести скалярные диаграммы определённого вида (диаграммы Лобанова) и применить к ним формальный синтез логических функций. Таким образом был построен базис силлогистики[7 - 18]. На приведённых рисунках представлен процесс перехода от диаграмм Венна к диаграммам Лобанова и синтез логических функций для силлогистических функторов Axy, Exy, Ixy.
Axy = x' + y Exy = x' + y' Ixy(8) = 1
Под базисом будем понимать определённый набор функторов Аху, Еху, Ixy. В общеразговорной логике все суждения построены в базисе Васильева, поскольку именно он отражает логику здравого смысла(см. вышеприведённый рисунок). Этот базис имеет следующее аналитическое представление:
Axy = x'+y = (xy')' Exy = x'+y' = (xy)' Ixy(8) = x+y+x'y' = 1,
где в скобках указан номер базиса для частно-утвердительного суждения. С помощью этого базиса можно представить любой другой базис, заменив скалярные диаграммы. Для фиксации и компактного описания введем операцию сцепления (конкатенации) функторов, обозначив ее символом ||. Тогда для частно-утвердительного функтора могут быть получены следующие описания и аналитические выражения [5 - 12]:
Автором разработаны несколько алгоритмов анализа и синтеза силлогизмов[7 - 18]. Здесь приводится лишь наиболее простой и наглядный алгоритм ТВАТ.
Алгоритм "ТВАТ"(Тушинский вечерний авиационный техникум)
Проиллюстрируем его возможности на конкретном примере. Нобелевский лауреат, академик Бертран Рассел в своей работе [26, стр.194] приводит силлогизм:
Все люди разумны. Некоторые животные - люди. -------------------------------------------- Некоторые животные - разумны.
Покажем на этом примере ущербность мышления Б. Рассела и недостатки классической логики. Во-первых, отсутствие дисциплины мышления проявляется в отсутствии универсума, хотя даже 100 лет назад Льюис Кэрролл[1] не позволял себе такого невежества. Определим, например, в качестве универсума весь животный и растительный мир. Во-вторых, последняя посылка с позиции русской логики просто безграмотна, поскольку в силу симметрии частно-утвердительного функтора мы должны считать, что некоторые люди - животные, а остальные - растения, минералы или ещё что-нибудь неодушевлённое. В соответствии с русской логикой и здравым смыслом вторую посылку необходимо заменить суждением "Все люди - животные". В-третьих, по теории великого русского физиолога И.П. Павлова разумными могут быть люди и только люди, т.е. "люди" и "разумные существа" - эквивалентные понятия.. Следовательно, и первая посылка некорректна. Отредактировав Б. Рассела, получим следующие посылки.
Задача
Все люди(m) и только люди разумны(x). Все люди(m) - животные(y). ------------------------------------------- F(x,y) = ?
Решение
Пусть x - разумные существа, m - люди, y - животные. Универсум - животный и растительный мир. По алгоритмам ИЭИ и ТВАТ :
M = (x"m)Amy = (xm+x'm')(m'+y) = m'x'+xmy+x'm'y = m'x'+xmy F(x,y) = x'+y = Axy.
m =========--------- x =========--------- y ============------
| Xy | f(x,y) |
| 00 | 1 |
| 01 | 1 |
| 10 | 0 |
| 11 | 1 |
F(x,y) = x'+y = Axy.
Таким образом мы получили правильное заключение "Все разумные - животные", что вполне согласуется со здравым смыслом.
Пойдём навстречу Б.Расселу, "сыграем в поддавки", т.е. построим силлогизм, который укладывался бы в модус AII первой фигуры.
Все молодые люди(m) разумны(x). Некоторые студенты(y) - молодые люди(m). -------------------------------------------- F(x,y) = ?
По алгоритму ТВАТ при универсуме U = разумные существа:
m =========--------- x =========--------- y ============------
| Xy | f(x,y) |
| 00 | 0 |
| 01 | 0 |
| 10 | 1 |
| 11 | 1 |
F(x,y) = x = Ayx & Ay'x.
Полученное заключение опять не соответствует выводу Б.Рассела и законам классической логики, но прекрасно согласуется со здравым смыслом и математикой. Эти примеры демонстрируют невежество не одного только маститого академика, но и всей мировой науки. Вся аморфность мышления Б. Рассела, как и любого другого "мыслителя", сразу проявляется при прорисовке скалярных диаграмм. Именно они принудительно дисциплинируют мышление. Кстати говоря, ошибками подобного рода пестрит раздел логики в учебнике философии Д. Тейчман и К. Эванс, профессоров Оксфорда и Кембриджа[27]. Например, на стр. 174 приводится посылка "Некоторые солдаты - люди" вместо "Все солдаты - люди", на стр. 170 суждение "Некоторые животные - олени " следует заменить на "Все олени - животные" и т.д. Таким образом, русская логика дисциплинирует мышление, тренирует ум. Это вполне согласуется с мыслью Демокрита о том, что надо воспитывать в себе "многомыслие", а не "многознание"[28,с.513].
Задача 1
Проверить корректность 1-го правила посылок классической силлогистики[19, стр.133].
Решение
Это правило формулируется так: "Хотя бы одна из посылок должна быть утвердительным суждением. Из двух отрицательных посылок заключение с необходимостью не следует". Подберём контр-пример на 1-е правило посылок.
Ни один человек(m) не является бессмертным(x). Ни один человек(m) не является счастливым(y). ----------------------------------------------------- F(x,y) = ?
В данном силлогизме универсумом (U) является множество существ. По алгоритму ИЭИ получим следующий результат.
M = EmxEmy = (m'+x')(m'+y') = x'y'+m F(x,y) = x'y'+i = Ix'y'(3),
т.е. "Некоторые смертные несчастливы".
Здесь и далее индекс в скобках обозначает номер базиса. По алгоритму ТВАТ получим графическое решение .
m ===========------------- x ------------------====== y1 ------------====-------- y2 --------------------==== y3 --------------========== y4 --------------========--
| Xy | f(x,y) |
| 00 | 1 |
| 01 | i |
| 10 | i |
| 11 | i |
F(x,y) = x'y'+i = Ix'y'(3),т.е. результаты аналитического и графического синтеза заключения совпали со здравым смыслом и опровергли 1-е правило посылок.
Задача 2
Проверить корректность 2-го правила посылок классической силлогистики[19, стр.134].
Решение
Это правило формулируется так: "Если одна из посылок - отрицательное суждение, то и заключение должно быть отрицательным". Контр-пример для этого случая может быть таким.
Все люди(m) - животные(x). Ни один человек(m) не имеет хвоста(y). --------------------------------------------- F(x,y) = ?
В качестве универсума(U) примем множество смертных существ. Наиболее наглядным является графическое решение по алгоритму ТВАТ.
m ========----------- x =================== y ------------=======
Из скалярных диаграмм видно, что заключение является общеутвердительным: "Все хвостатые существа - животные", что опровергает 2-е правило посылок.
Задача 3
Проверить корректность 3-го правила посылок классической силлогистики[19, стр.134].
Решение
Это правило формулируется так: "Хотя бы одна из посылок должна быть общим суждением. Из двух частных посылок заключение с необходимостью не следует". Рассмотрим контр-пример:
Некоторые люди (m) неграмотны (x). Некоторые люди (m) бескультурны (y). ----------------------------------------- F(x,y) = ?
Пусть U - множество животных. Предположим, что культурным (вежливым, например) может быть и неграмотный. Животные по определению не могут быть культурными. Поскольку аналитический метод синтеза силлогизмов по алгоритму ИЭИ не обладает необходимой наглядностью, то вновь воспользуемся алгоритмом ТВАТ.
m ======---------------- x -----================= y1 ------================ y2 ---=================== y3 =====----=============
| Xy | f(x,y) |
| 00 | i |
| 01 | i |
| 10 | i |
| 11 | 1 |
F(x,y) = xy+i = Ixy(3),
т.е. "Некоторые неграмотные бескультурны" . Это соответствует математике и здравому смыслу, что ставит под сомнение корректность 3-го правила посылок. Разумеется, полученное заключение не единственно возможное, однако оно вполне имеет право на существование. Кроме того, если мы ограничим универсум каким-либо локальным случаем (см., например, задачу 6), то вполне может оказаться истинным лишь одно заключение (ситуация Y1): "Все грамотные - культурны". Такое заключение перечёркивает 4-е правило посылок[19,стр.135]:" Если одна из посылок - частное суждение, то и заключение должно быть частным".
Таким образом в ходе решения трёх задач мы доказали некорректность всех четырёх правил посылок классической силлогистики[8]. Следовательно, классическая силлогистика в принципе не может решать поставленные перед нею проблемы. Преподавать классическую логику преступно по отношению к студентам и школьникам.
Задача 4
Все квадраты(m) суть прямоугольники(x) Все квадраты(m) суть ромбы(y) ------------------------------------------- f(x,y) = ?
Решение
По алгоритму ИЭИ получим:
M = AmxAmy (m=xy) = (m'+x)(m'+y)(mxy+m'x'+m'y') = mxy+m'x'+m'y' f(x,y) = xy+x'+y' = Ixy(8)
В качестве третьей посылки мы ввели определение квадрата как прямоугольного ромба.
Если в качестве универсума используем понятие "параллелограммы", то получим по алгоритму ТВАТ аналогичный результат.
m =========-------- x ============ y =========----====
| Xy | f(x,y) |
| 00 | 1 |
| 01 | 1 |
| 10 | 1 |
| 11 | 1 |
Если в качестве универсума выберем лишь множество, состоящее из прямоугольников и ромбов, то получим иной результат.
m -----=====----- x -----========== y ==========-----
| Xy | f(x,y) |
| 00 | 0 |
| 01 | 1 |
| 10 | 1 |
| 11 | 1 |
f(x,y) = x+y = Ax'y = Ay'x
Эта задача демонстрирует влияние объёма термина и универсума на заключение.
Задача 5
Если в силлогизме Все люди(x) смертны(m) Сократ(y) - смертен(m)
в качестве универсума примем множество живых существ, т. е. только смертных, то, не зная,что Сократ - человек, получим следующее решение.
M = AxmAym = (x'+m)(y'+m) = x'y'+m F(x,y) = x'y'+i = Ix'y'(3)
Проверим этот результат по алгоритму ТВАТ:
m ================ x ========-------- y1 -----------==--- y2 --==------------
| Xy | f(x,y) |
| 00 | 1 |
| 01 | i |
| 10 | 1 |
| 11 | i |
f(x,y) = y'+iy = Ixy'(7)
По алгоритму ТВАТ мы получили менее жёсткий результат, но он логически обоснован: Сократ не может быть одновременно и человеком, и животным, поэтому у нас в скалярных диаграммах отсутствует ситуация Ixy. Этот пример ещё раз подтверждает мысль о бесполезности модусов, о необходимости абсолютно конкретного аналитического или графического представления каждой посылки. К сожалению, в аналитике обе посылки данного силлогизма идентичны, что не соответствует действительности. В этом заключается один из недостатков аналитического синтеза силлогизмов. Только алгоритм ТВАТ может работать с единичными множествами.
Задача 6
Провести синтез силлогизма:
Все люди (m) смертны (x) Некоторые люди (m) неграмотны (y) ------------------------------------------------ f(x,y) = ?
Решение
Пусть в универсум входят люди, животные и боги. Богов будем считать грамотными.
M = AmxImy(8) = (m'+x) & 1 = m'+x f(x,y) = x+i = Ixy(5)
Проверим заключение по алгоритму ТВАТ.
m =========------ x ===========---- y ----=======----
| XY | f(x,y) |
| 00 | 1 |
| 01 | 0 |
| 10 | 1 |
| 11 | 1 |
f(x,y) = y'+x = Ayx
Если мы посчитаем богов неграмотными, то заключение снова изменится.
m =========--------- x =============----- y ----==============
| Xy | f(x,y) |
| 00 | 0 |
| 01 | 1 |
| 10 | 1 |
| 11 | 1 |
f(x,y) = x+y = Ax'y = Ay'x
Рассмотрим этот же силлогизм,но в отсутствии богов,т.е. не включим их в универсум.
m =========--------- x ================== y ----==============
| Xy | f(x,y) |
| 00 | 0 |
| 01 | 0 |
| 10 | 1 |
| 11 | 1 |
f(x,y) = x = AyxAy'x
Этими вариантами не исчерпываются все ситуации: можно считать некоторых животных грамотными (дрессированными) или некторых богов неграмотными.
Итак, мы убедились, что все правила силлогистики некорректны. Рассматривать после этого "правильные" модусы Аристотеля уже не имеет смысла. Однако, сомневающиеся могут ознакомиться с ошибками Аристотеля по [11]. Наиболее характерная из них связана с первым модусом 4-й фигуры. Здравый смысл и русская логика убеждают нас в том, что от перестановки посылок заключение не изменяется. Однако все логики как попугаи вслед за Аристотелем повторяют, что 1-й фигуре соответствует модус ААА, а 4-й - AAI. Причём в этом хоре попугаев математики солируют. Спрашивается, куда подевалось мышление аналитиков? Приведём результаты синтеза этого модуса в базисе Аристотеля по алгоритму ТВАТ:
M = AxmAmy
m ==========------ x1 =======--------- x2 ==========------ y1 ==========------ y2 =============---
| Xy | f(x,y) |
| 00 | 1 |
| 01 | i |
| 10 | 0 |
| 11 | 1 |
f(x,y) = xy+x'y'+ixy' = Axy.
Мы доказали, что первые модусы 1-й и 4-й фигуры ничем не отличаются друг от друга, т.е. подтвердили правоту здравого смысла. Более того, мы лишний раз убедились в никчёмности и фигур, и модусов. Я считаю, что фигуры и модусы, равно как и кванторное исчисление ("лишние сущности" по Оккаму) были придуманы от творческого бессилия.
Несмотря на то, что проблема решения логических уравнений была глубоко вскрыта гениальным русским логиком П.С.Порецким в его работе[21], тем не менее результаты этой научной деятельности не освоены и не поняты ни мировой, ни, что обиднее всего, отечественной наукой. Автору пришлось решать эту задачу заново [29], поскольку проблема требовала введения 4-значной логики, а у Порецкого использовалась лишь двоичная. Тем не менее результаты великого русского логика вызывают восхищение даже при их относительной незавершённости. Кроме того, наша наука просмотрела и то обстоятельство, что впервые в мире аналитическое описание общеутвердительного и общеотрицательного силлогистических функторов дал П.С.Порецкий [30]. Вслед за ним такие же результаты получил Л.Кэрролл. Английская наука также не заметила мировых достижений своего талантливого соотечественника. Мировая наука до сих пор прозябает в невежестве. Отечественные логики [22 - 25] предпринимают мужественные попытки исправить ситуацию, но их усилия не приносят ожидаемых результатов. Нельзя мириться с таким положением дел, когда школьникам и студентам преподают невежественную дисциплину.
Перечислим основные недостатки классической логики.
Приведу основные результаты, полученные при создании русской логики.
Подводя итог вышеизложенному, нельзя не придти к выводу, что впервые в мире создана истинно математическая логика, не противоречащая здравому смыслу. Фактически родилась совершенно новая наука, впервые произведена именно научная, а не научно-техническая революция, поскольку созданы предпосылки для рационализации труда учёных.. Впервые в мире реализованы мечты Аристотеля и Лейбница. Их мечты воплощены в России.
Требуется скорейшее внедрение русской логики в школьное и вузовское преподавание для искоренения недостатков и ошибок классической логики, а также в связи с тем, что логика составляет фундамент искусственного интеллекта, главного научного направления 3-го тысячелетия, по уровню развития которого судят о научном потенциале державы.
Автор с 1986г. по совместительству читает курс русской логики в Тушинском вечернем авиационном техникуме. Студенты достаточно свободно её осваивают. Кроме того, приходилось читать лекции школьникам старших классов. Они тоже без затруднений воспринимали эту логику. Два года автор читал платные лекции в НПФ "Знание". И "физики", и "лирики" воспринимали русскую логику с интересом. Слушатели даже произвели видеозапись 6 лекций цикла.
Я готов безвозмездно передать цикл лекций для преподавателей, собирающихся внедрить русскую логику в образование. Если эта дисциплина вызовет повышенный интерес, то я готов сбросить в Internet файлы своих книг "Русская логика против классической" и "Решебник по Русской логике". Книги ещё не скоро выйдут из печати, если вообще выйдут. Кроме того популяризаторские статьи по русской логике выставлены в режиме гипертекста на моих сайтах http://ruslogic.narod.ru и http://ruslogic.by.ru. Зарубежье активно осваивает Русскую логику - за Державу будет обидно, если наша логика вернётся на Родину в импортной упаковке.
Литература