Задачи П. С. Порецкого

Платон Сергеевич Порецкий родился 3 октября 1846 г. в Елизаветграде Херсонской губернии в семье военного врача[31]. В 1870 г. закончил физматфак Харьковского университета. Был оставлен прфессорским стипендиатом на кафедре астрономии. С 1876 г. избирается астрономом-наблюдателем Казанского университета. За 1876-79 гг. Порецкий опубликовал 2 тома наблюдений на меридианном круге. Несмотря на слабое здоровье участвует в общественной жизни университета, являясь секретарем секции физматнаук, казначеем, а затем и пожизненным членом. Редактирует либеральную газету "Телеграф".

За астрономические исследования в 1886 г. ему присуждается ученая степень доктора астрономии и звание приват-доцента.

Принимал заочное участие в ряде международных научных конгрессов, вел активную переписку как с русскими, так и иностранными учеными.

П.С.Порецкий умер 9 августа 1907 г. в с.Жоведь Гродненского уезда Черниговской губернии, куда переехал из Казани в 1889 г., будучи уже тяжелобольным. Смерть застала его за неоконченной статьей по логике.

Логикой занимается с 1880 г. В 1881 г. выходит его работа "Изложение основных начал мат.логики ...". В 1881 г. издает свой большой труд "О способах решения логических равенств и об обратном способе математической логики"[27], где излагает теорию логических равенств, закон форм посылок, закон замещения системы посылок одной посылкою, закон разложения посылок на элементы, закон исключения терминов из посылок, закон умозаключений(синтез), закон причин. Порецкий далёк от претензии построить универсальное логическое исчисление. В предисловии к [27] он чётко заявляет, что развиваемое им исчисление пригодно лишь для "качественных" умозаключений("качество" в понимании Порецкого соответствует одноместному предикату). В логических равенствах Порецкий использует суждения только общего характера(утвердительные или отрицательные). Более того, можно утверждать, что в случае получения частного заключения эти методы не работают

Работа П.С.Порецкого "Из области математической логики"(1902) является обобщением классической силлогистики. Синтезируется несколько заключений из заданных посылок(элиминация), что даёт возможность доказать отсутствие каких-либо других следствий, помимо следствий искомого вида. Элиминацию до сих пор не освоила современная логика.

Аксиоматика Порецкого

В [1] утверждается, что аксиоматика Порецкого имеет вид:

 a -> a,
((a -> b)(b -> c)) -> (a -> c),
(ab) -> a,
(ab) -> b,
((a -> b)(a -> c)) -> (a -> (bc)),
((a -> b)(b -> a)) -> (a = b),
(a = b) -> (a -> b),
(a = b) -> (b -> a).

Непонятно, почему все эти соотношения называются аксиомами, поскольку они легко и просто доказываются с помощью алгоритма "Импульс".

Воспользуемся алгоритмом "Импульс" для доказательства того, что все аксиомы Порецкого являются теоремами:

1) a -> a = a' + a = 1,
2) ((a -> b)(b -> c)) -> (a -> c)=((a'+b)(b'+c)) -> (a'+c)=ab'+bc'+a'+c = 1,
3) (ab) -> a = a'+b'+a = 1,
4) (ab) -> b = a'+b'+b = 1,
5) ((a -> b)(a -> c)) -> (a -> (bc)) = ((a'+b)(a'+c)) -> (a'+bc) = ab'+ac'+a'+bc = 1,
6) ((a -> b)(b -> a)) -> (a=b)=((a'+b)(b'+a)) -> (a=b)=ab'+ba'+ab+a'b'=1,
7) (a = b) -> (a -> b) = ab'+ba'+a'+b = 1,
8) (a = b) -> (b -> a) = ab'+ba'+b'+a = 1.

Стяжкин Н.И.[1] приводит исчисление Порецкого в виде длинного списка из более чем 20 аксиом и правил:

(1A)   e = e - принцип тождества;
(2П)   (e=c) -> (c=e) - симметричность равенства;
(3П)   ((e=c)&(c=b)) -> (e=b) - транзитивность равенства;
(4A)   ee = e - идемпотентность умножения;
(4*A)  e+e = e - идемпотентность сложения;
(5A)   ec = ce - коммутативность умножения;
(5*A)  e+c = c+e - коммутативность сложения;
(6A)   (ec)b = e(cb) - ассоциативность умножения;
(6*A)  (e+c)+b = e+(c+b) - ассоциативность сложения;
(7A)   e(e+c) = e - принцип поглощения;
(7*A)  e+ec = e - принцип поглощения;
(9П)   (e=c) -> (e+b=c+b);
(9*П)  (e=c) -> (eb=cb);
(10A)  e(c+b) = ec+eb;
(11A)  e+e' = 1;
(11*A) e&e' = 0;
(12A)  e&0 = 0;
(12*A) e&1 = e.

Нет нужды доказывать, что весь этот набор аксиом и правил на самом деле является набором теорем, которые легко выводятся по алгоритму "Импульс". Более того, на стр.377 [31] долго и многословно поясняется, как с помощью аксиом и правил можно доказать одну из теорем логических следствий Порецкого. Покажем, как просто это делается по алгоритму "Импульс"(здесь переменная e1 заменена на c):

(e=ec) -> (e=e(c+x)) = e(ec)'+e'ec+ec+ex+e'(e'+c'x') = ec'+ec+ex+e' = e+e' = 1.

Главные задачи Порецкого рассмотрены в разделе, посвящённом решению логических уравнений. Здесь лишь необходимо подчеркнуть, что аналитическое описание силлогистических функторов Axy, Exy впервые в мире ввёл Платон Сергеевич Порецкий, а вслед за ним к таким же результатам пришёл Л.Кэрролл. Современная логика до сих пор об этом не догадывается.