m)Emy = (xm+x'm')(m'+y') = x'm'+xmy'
f(x,y) = x'+y' = Exy.
m ======------
x ======------
y ---------====
xy f(x,y)
00 1
01 1
10 1
11 0
F(x,y) = x'+y' = Exy = Ayx' = Axy'.Практикум по силлогистике
Силлогизм - это умозаключение , в котором из двух посылок выводится заключение. Силлогистика - раздел логики, занимающийся анализом и синтезом силлогизмов. Изучение этого раздела невозможно без решения задач, что вызывает непреодолимые трудности не только у студентов, но и у преподавателей. О формальных методах анализа и синтеза силлогизмов мечтал самый выдающийся математик всех времён и народов Г.В. Лейбниц:"Единственное средство улучшить наши умозаключения состоит в том, чтобы сделать их столь же наглядными,как и у математиков, - такими, что их ошибочность можно было бы увидеть глазами, и если между людьми возникают разногласия, достаточно было бы только сказать "Вычислим!" , чтобы без долгих рассуждений стало ясно, кто прав".
В работе [1] . О. А. Солодухин приводит большое количество задач. Это первый гуманитарий, который пытается привлечь математику для анализа силлогизмов. На примере решения наиболее интересных задач рассмотрим применение алгоритмов ИЭИ и ТВАТ[2 - 10], предназначенных для анализа и синтеза силлогизмов. Во всех аналитических выражениях апостроф представляет инверсию аргумента или функции.
Алгоритм "ИЭИ"(Ивановский энергетический институт)
Алгоритм "ТВАТ"(Тушинский вечерний авиационный техникум)
Алгоритм "ИЭИ" для некоторых частных силлогизмов позволяет получить корректные,но неполные заключения. Эта неполнота с лихвой окупается простотой и прозрачностью алгоритма.Все аналитические выражения для базисов силлогистики и все методы анализа и синтеза силлогизмов, о которых мечтал Лейбниц, впервые созданы и апробированы в России(алгоритмы "Селигер", "Осташ", "ИЭИ", "ТВАТ")[2-10]. Автор этих методов 30 лет разрабатывает цифровые системы управления, в том числе оборонного назначения. При разработках приходилось использовать и совершенствовать математическую в истинном смысле слова логику. 21-й век называют веком искусственного интеллекта(ИИ). Эти проблемы будут решать разработчики-цифровики. Силлогистика - фундамент ИИ. Пришлось этот фундамент срочно укреплять.
В дальнейшем все примеры будут построены на базисе Васильева, поскольку именно он более всего отражает логику здравого смысла. Этот базис имеет следующее аналитическое представление: Axy = x'+y = (xy')' Exy = x'+y' = (xy)' Ixy(8) = x+y+x'y' = 1, где в скобках указан номер базиса для частно-утвердительного суждения.
Для частно-утвердительного суждения были получены следующие выражения [2 - 10]:
17. Ixy = x 18. Ixy = x+y+ix'y' - русский базис 19. Ixy = xy + i(x'+y') - базис Аристотеля 20. Ixy = x+y'+ ix'y 21. Ixy = x+ix' 22. Ixy = x+y 23. Ixy = y+iy' 24. Ixy = x+y+x'y' = 1 - базис Васильева
Здесь и далее используется троичная логика: 1 - да, 0 - нет, i - может быть.
Задача 1[1,стр.150]
Только философы эгоисты. Нет циника, который не был бы эгоистом. Следовательно, все циники - философы.
Решение
Пусть x - философы, y - циники, m - эгоисты. Универсум - люди. Тогда по алгоритму ИЭИ получим:
M = AmxAym = (m'+x)(y'+m) = m'y'+xy'+mx F(x,y) = y'+x = Ayx, т.е. наш результат подтвердил истинность заключения. Проверим решение по алгоритму ТВАТ. m ======------ x =========---- y =====------- xy f(x,y) 00 1 01 0 10 1 11 1F(x,y) = y'+x = Ayx, т.е. результаты всех трёх методов синтеза совпали.
Задача 2[1,стр.150]
Лишь глупые люди верят в конец света. Тот, кто верит в гармонию мира, не верит в конец света. Всегда найдётся глупец, который не верит в гармонию мира.
Решение
Пусть х - глупые люди, m - верящие в конец света, у - верящие в гармонию мира. Универсум - люди.
M = AmxEym = (m'+x)(y'+m') = m'+xy' f(x,y) = xy'+i = Ixy'(3) m ======------ x =========---- y1 --------==== y2 ------==---- y3 ------======= xy f(x,y) 00 i 01 i 10 1 11 i F(x,y) = xy'+i = Ixy'(3).
Если трактовать заключение [1] как "Все глупцы не верят в гармонию мира", то такой вывод ошибочен.
Задача 3[1,стр.150]
Каждого, кто верит в себя, можно считать Человеком. Никто, ни один Человек не верит политикам. Все, кто верит политикам, не верит в себя.
Решение
Пусть х - кто верит в себя, m - Человек, у - кто верит политикам. Универсум - люди.
M = (x
Задача 5[1,стр.151]
Нет таких членов парламента, которые не участвовали бы в законотворчестве. Только 12% членов парламента составляют юристы. Не все, кто создают законы, являются юристами.
Решение
Пусть x - законотворцы, m - члены парламента, y - юристы. Универсум - люди.
M = EmxImy(8) = (m'+x')&1 = m'+x' F(x,y) = x'+i = Ix'y(5). m ======------ x --------==== y1 ---=====---- y2 ---========- y3 ===-----==== xy f(x,y) 00 1 01 1 10 i 11 i
F(x,y) = x'+i = Ix'y(5), т.е. алгоритмы ИЭИ и ТВАТ дали одинаковые результаты,формально не подтверждающие заключение, поскольку в нём не указан базис, а в классической логике используется лишь базис Аристотеля.
Задача 7[1,стр.151]
Среди юристов имеются профессиональные бизнесмены. Настоящий бизнесмен не боится инфляции. Некоторые юристы не опасаются инфляции.
Решение
Пусть x - юристы, m - бизнесмены, y - не боящиеся инфляции предприниматели. Универсум - люди.
M = IxmAmy = 1*(m'+y) = m'+y F(x,y) = y+i = Ixy(7). m ======------ x ----======-- y1 ===========-- y2 ========---- y3 =======--==== xy f(x,y) 00 i 01 1 10 i 11 1 F(x,y) = y+i = Ixy(7).
Опять формальное несовпадение исходного заключения с полученными результатами, поскольку в заключении не указан базис.
Задача 8[1,стр.151]
Только политики верят в пользу насилия. Не всякий любитель насилия любит собственных детей. Некоторые политики не любят своих детей.
Решение
Пусть x - политики, m - любители насилия, y - не любящие своих детей родители.Универсум - люди.
M = AmxImy(8) = (m'+x)&1 = m'+x F(x,y) = x+i = Ixy(5) m ======------ x ==========--- y1 ---======---- y2 ===----====== xy f(x,y) 00 i 01 i 10 1 11 1 F(x,y) = x+i = Ixy(5)Опять формальное несовпадение по базису результатов с исходным заключением.
Задача 9[1,стр.151]
Только в споре рождается истина. Никто не станет спорить, кроме глупца или мошенника. Лишь глупец или мошенник могут достичь истины.
Решение
Пусть x - "родители истины", m - спорщики, y - глупец или мошенник. Универсум - люди.
M = AxmAmy = (x'+m)(m'+y) = m'x'+x'y+my F(x,y) = x'+y = Axy. m ======------ x ====-------- y ===========-- xy f(x,y) 00 1 01 1 10 0 11 1 F(x,y) = x'+y = Axy.
Задача 12[1,стр.151]
Боязливый к прекрасному полу - боязлив и в жизни. Тот, кто знает логику, не боится женщин. Трус не разбирается в логике.
Решение
Пусть x - боязливый в жизни, m - боящийся женщин, y - знающий логику. Универсум - мужчины.
M = AmxEym = (m'+x)(y'+m') = m'+xy', F(x,y) = xy'+i = Ixy'(3). m ======------ x ===========-- y1 -------==--- y2 -------===== y3 ---------== xy f(x,y) 00 i 01 i 10 1 11 i F(x,y) = xy'+i = Ixy'(3).
В данном случае исходное заключение кардинально ошибочно.
Задача 13[1,стр.152]
Среди болтунов нет логиков. Только болтун может стать политиком. Ни один логик не станет политиком.
Решение
Пусть x - логик, m - болтун, y - политик. Универсум - люди.
M = EmxAym = (m'+x')(y'+m) = m'y'+x'y'+mx' F(x,y) = x'+y' = Exy. m ======------ x -------==== y ===-------- xy f(x,y) 00 1 01 1 10 1 11 0 F(x,y) = x'+y' = Exy.
Задача 14[1,стр.152]
Иногда проходимец может оказаться ясновидцем. Если ты ясновидец, то не должен лгать. Существуют проходимцы, которые обязаны говорить правду.
Решение
Пусть x - проходимец, m - ясновидец, y - честный. Универсум - люди.
M = IxmAmy = 1&(m'+y) = m'+y F(x,y) = y+i = Ixy(7)
Опять формальное несовпадение по базису результата с исходным заключением.
Задача 15[1,стр.152]
Лишь двоечник по убеждению - лентяй. Ни один студент не любит получать двойки. Значит, среди студентов нет лентяев.
Решение
Пусть x - лентяй, m - двоечник, y - студент.Универсум - учащиеся.
M = AxmEym = (x'+m)(y'+m') = x'y'+my'+m'x' F(x,y) = x'+y' = Exy. m ======------ x =====------- y -------===== xy f(x,y) 00 1 01 1 10 1 11 0 F(x,y) = x'+y' = Exy.
Задача 16[1,стр.152]
Лишь в правовом государстве реализуются права граждан. Только демократическое государство может быть правовым. Права граждан могут быть реализованы лишь в демократическом государстве.
Решение
Пусть x - реализующее права граждан государство, m - правовое государство, y - демократическое государство. Универсум - государство.
M = AxmAmy = (x'+m)(m'+y) = m'x'+x'y+my = m'x'+my F(x,y) = x'+y = Axy. m ======------ x =====------- y ========---- xy f(x,y) 00 1 01 1 10 0 11 1 F(x,y) = x'+y = Axy.
Ошибки, обнаруженные в задачах[1], характерны для классического метода, опирающегося на "правильные" модусы и "законы" силлогистики. Разумеется, разобранные примеры чрезвычайно просты, но более сложных в [1] не нашлось. Это и понятно: педагоги стремятся формулировать лишь такие проблемы, которые поддаются умозрительному решению. Большое количество примеров и задач, в том числе и нетривиальных, можно найти в [2-10]. Перед обращением к указанным публикациям желательно ознакомиться с [4] или [11].
Разработанная автором логика преподаётся студентам Тушинского вечернего авиационного техникума с 1986г. благодаря активному содействию администрации в лице директора Немченко Т.П. и завуча Волковой Е.И. Студенты успешно осваивают русскую логику в связи с её простотой и прозрачностью. Все работы автора за 1998 и 1999гг. по данной тематике переведены в США,о чём автор узнал недавно. Этот откровенный интерес настораживает: при традиционной неторопливости отечественной системы образования русская логика вернётся к нам из-за рубежа под чужим именем. Всем заинтересованным вузам, техникумам, колледжам, школам и математическим кружкам автор готов передать цикл лекций, семинаров и контрольных работ по русской логике безвозмездно при условии незамедлительного внедрения отечественных достижений в учебный процесс.
Литература
