Русская силлогистика
Силлогизм - это умозаключение , в котором из двух посылок, связанных общим(средним) термином, выводится заключение. Силлогистика - раздел логики, занимающийся анализом и синтезом силлогизмов.
Классическая силлогистика[1] не имеет никакого отношения к здравому смыслу и математике, обременена множеством ненужных определений, законов, правил и т.п. и не воспринимается учащимися. Кроме того, классическая силлогистика далеко не всегда корректна. Поэтому автору пришлось разработать силлогистику здравого смысла[2 - 13]. Поскольку фундаментом этой силлогистики послужили работы русских логиков[14 - 19], то она получила название русской силлогистики, или русской логики.
Для общеразговорной логики вполне достаточно трёх или даже двух базовых суждений (силлогистических функторов):
Для создания истинно математической силлогистики необходимо прежде всего аналитически описать все силлогистические функторы. До сих пор ни в одном учебнике нет таких формул. Поскольку функторы описывают множества, то для их отображения были созданы круги Эйлера и диаграммы Венна. Они не решили поставленной задачи. Пришлось ввести скалярные диаграммы определённого вида и применить к ним формальный синтез логических функций[3, 4, 12]. Таким образом был построен базис силлогистики.
Все x суть y(Axy).
Традиционное представление этого суждения изображено на скалярной диаграмме. Ширина скалярной диаграммы определяет объём универсума. Под универсумом понимается "мир вещей", или мир понятий, включающий в себя содержимое всех терминов рассматриваемого силлогизма или отдельного суждения.
1 0
x =====------
1 0
y =======----
Из скалярных диаграмм видно, что для переменных ху имеют место состояния 00, 01 и 11, т.е. на этих наборах функция Аху принимает значение 1. Состояние 10 отсутствует, следовательно Аху = 0. Эту информацию занесём в таблицу истинности.
xy | Axy ----|----- 00 | 1 01 | 1 10 | 0 11 | 1
По таблице истинности синтезируем[3,4,12] логическую функцию Axy:
Axy = (xy')' = x'+y
Здесь и далее апостроф означает отрицание.
Ни один x не есть y(Exy).
Классическое представление Exy изображено на скалярных диаграммах.
1 0
х =====------
0 1
у ------=====
xy | Exy
----------
00 | 1
01 | 1
10 | 1
11 | 0
Из таблицы имеем:
Exy = (xy)' = x'+y'
Эти соотношения не вызывают сомнений, тем более, что подтверждение тому можно найти при внимательном прочтении работ Порецкого П.С.
Некоторые x суть y.
Лобачевский Н.И. создал "воображаемую геометрию". По образу и подобию великого русского геометра не менее великий русский логик Васильев Н.А. разработал "воображаемую логику". Мы попробуем разобраться хотя бы в общеразговорной(бытовой) логике, тем более, что даже в работах Васильева частному суждению Ixy уделено недостаточное внимание. Функтор Ixy имеет не менее 10 вариантов реализации[5 -7, 10,12]. Рассмотрим лишь наиболее "популярные" из них.
Второй вариант суждения Ixy(русский функтор) представлен рисунке.
x' x
-----=======
y' y y'
a)---======---
y y'
b)========----
Из скалярных диаграмм видно, что переменные ху для варианта а) могут одновременно принимать значение 00, а для варианта б) - нет. Это типичная ситуация "может быть", т.е третье значение (i) трёхзначной логики[2,5 - 7, 10,12].
xy | Ixy ---------- 00 | i 01 | 1 10 | 1 11 | 1
Из таблицы получим соотношение:
Ixy = x+y+ix'y'
Третий вариант суждения Ixy представлен на рисунке. Этот функтор называется Аристотелевским.
x' x
------======
y y'
a)========---
y' y y'
b)---======---
y' y
c)---========
y' y
d)-------====
xy | Ixy
----------
00 | i
01 | i
10 | i
11 | 1
Из таблицы получим соотношение:
Ixy = xy+i(x'+y')
Восьмой вариант функтора Ixy(функтор Васильева Н. А. ).
Великий русский логик лишь сформулировал требования к частно-утвердительному функтору. На основании этих требований были решены системы логических уравнений и построены скалярные диаграммы.
x' x ------====== y' y y' ---======--- xy | Ixy ---------- 00 | 1 01 | 1 10 | 1 11 | 1 Ixy = x+y+x'y' = 1
Под базисом будем понимать определённый набор функторов Аху, Еху, Ixy .В общеразговорной логике все суждения построены в базисе Васильева, поскольку именно он отражает логику здравого смысла. Этот базис имеет следующее аналитическое представление:
Axy = x'+y = (xy')' Exy = x'+y' = (xy)' Ixy(8) = x+y+x'y' = 1,где в скобках указан номер базиса для частно-утвердительного суждения. С помощью этого базиса можно представить любой другой базис, заменив скалярные диаграммы. Для фиксации и компактного описания введем операцию сцепления (конкатенации) функторов, обозначив ее символом ||. Тогда для частно-утвердительного суждения могут быть получены следующие описания и аналитические выражения [5 - 12]:
9. Ixy(1) = Axy & Ax'y = x 10. Ixy(2) = Ixy(8) || (Ax'y & Ay'x) = x+y+ix'y' - русский функтор 11. Ixy(3) = Ixy(8) || (Ax'y & Ay'x) || Axy || Ayx = xy + i(x'+y') - функтор Аристотеля 12. Ixy(4) = Ixy(8) || Ayx = x+y'+ ix'y 13. Ixy(5) = Ixy(8) || Ayx || (Ax'y & Ay'x) = x+ix' 14. Ixy(6) = (Ax'y & Ay'x) = x+y 15. Ixy(7) = Ixy(8) || Axy || (Ax'y & Ay'x) = y+iy' 16. Ixy(8) = x+y+x'y' = 1 - функтор Васильева
На основе базиса силлогистики были разработаны алгоритмы анализа и синтеза силлогизмов[5-9, 12].
Алгоритм "ИЭИ"(Ивановский энергетический институт)
Алгоритм "ТВАТ"(Тушинский вечерний авиационный техникум)
Алгоритм "ИЭИ" чрезвычайно прост, но не позволяет работать с единичными множествами, т.е. множествами, состоящими из одного элемента. Алгоритм "ТВАТ" лишён недостатков. Рассмотрим применение этих алгоритмов па конкретных примерах.
Пример 1
Все добрые люди - честные Все недобрые люди - агрессивные Найти заключение f(x,y).
Решение
Добрые люди - m. Честные люди - x. Агрессивные люди - y. Люди - универсум U. По алгоритму "ИЭИ" M = AmxAm'y = (m'+x)(m+y) = mx+m'y. F(x,y) = x+y = Ixy(6) = Ax'y = Ay'x. m ======------ x =========---- y ---========== xy f(x,y) 00 0 01 1 10 1 11 1 F(x,y) = x+y = Ixy(6) = Ax'y = Ay'x,т.е. результаты всех методов синтеза совпали.
Пример 2
Если в силлогизме
Все люди(x) смертны(m) Сократ(y) - смертен(m)
в качестве универсума примем множество живых существ,т. е. только смертных, то ,не зная,что Сократ - человек, получим следующее решение.
M = AxmAym = (x'+m)(y'+m) = x'y'+m F(x,y) = x'y'+i = Ix'y'(3) Проверим этот результат по алгоритму ТВАТ: m ============= x =======------ y1 -----------= y2 =----------- xy f(x,y) 00 1 01 i 10 1 11 i f(x,y) = y'+iy = Ixy'(7)
Мы получили менее жёсткий результат, но он логически обоснован: Сократ не может быть одновременно и человеком, и животным, поэтому у нас в скалярных диаграммах отсутствует ситуация Ixy. К сожалению, в аналитике обе посылки данного силлогизма идентичны, что не соответствует действительности. Этот пример ещё раз подтверждает мысль о бесполезности модусов, которые не учитывают объём универсума и не могут работать с единичными множествами. Отсюда также следует вывод о необходимости абсолютно конкретного аналитического или графического представления каждой посылки.
Пример 3
Все люди(m) смертны(x) Некоторые люди(m) неграмотны(y) ------------------------------- f(x,y) = ?
Решение
По алгоритму ИЭИ получим: M = AmxImy(8) = (m'+x)&1 = m'+x ; f(x,y) = x+i = Ixy(5). Казалось бы, все верно: полное совпадение с правильным модусом 3 й фигуры. Проверим результат с помощью алгоритма ТВАТ. Универсумом являются существа, в том числе и бессмертные(боги). Будем считать богов грамотными, а животных - неграмотными(грамотность - умение читать и писать).
m =======---- +--------+
x ===========-- ¦ xy ¦Ixy¦
y --========-- +--------+
¦ 00 ¦ 1 ¦
¦ 01 ¦ 0 ¦
¦ 10 ¦ 1 ¦
¦ 11 ¦ 1 ¦
+--------+
f(x,y) = y'+x = Ayx.
Впервые нарушено одно из правил посылок[1]: если хотя бы одна посылка носит частный характер, то и заключение должно быть частным. Доказана некорректность законов классической силлогистики. Русская логика является строго математической, согласуется со здравым смыслом, проста и прозрачна для освоения не только в вузах, но и в средней школе.
Всем заинтересованным вузам, техникумам, колледжам, школам и математическим кружкам автор готов передать цикл лекций, семинаров и контрольных работ по русской логике безвозмездно при условии незамедлительного внедрения отечественных достижений в учебный процесс.
Литература