Многозначная силлогистика. Базисы силлогистики
ЛЕКЦИЯ 6
--------
МНОГОЗНАЧНАЯ СИЛЛОГИСТИКА.БАЗИСЫ СИЛЛОГИСТИКИ.
"Читай и слушай для собс-
твенного развлечения рассказы
о хитроумных системах,вникай в
интересные вопросы,поставлен-
ные там со всей изощрен-
ностью,какой только может на-
делить их пылкая фантазия,но
смотри на все это только как
на упражнения для ума и возв-
ращайся каждый раз к согласию
со здравым смыслом..."
(Честерфилд "Письма к сыну")
(1694 - 1773гг.)
ПРЕДИСЛОВИЕ.
Известный английский ученый(философ,логик,математик),автор осно-
вополагающего труда по математической логике "Основания математики"
Бертран Рассел(1872-1970) в своей работе "Искусство делать выводы" го-
ворил:"Не изучайте традиционную формальную логику.Во времена Аристоте-
ля это было великое достижение,каким была Птолемеева астрономия.Изу-
чать то или другое в наши дни - это смешной аpхаизм".Это заявление
пустозвона:Б.Pассел,как и вся миpовая логика, не доpосли до уpовня pе-
шения пpоблем Аpистотеля.
Все,о чем далее будет идти речь(комплементарная логика,решение
логических уравнений,русская силлогистика,силлогистика Аристотеля-Жер-
гонна,общеразговорная силлогистика) разработано в России и не известно
мировой науке.Все нижеизложенное опровергает классическую силлогисти-
ку,устраняет множество ненужных правил,законов,излишних терминов,упро-
щает до предела процесс анализа и синтеза силлогизмов,процедуру реше-
ния логических уравнений.По существу произведена революция в силлогис-
тике.Поэтому призываю всех читателей воспринимать все написанное край-
не критически и обязательно проверять с точки зрения здравого смыс-
ла.Чтобы не повторился парадокс теории относительности(ТО),которую в
1998г. немецкие физики Георг Галецки и Петер Марквардт низвели с пь-
едестала(ж."Юный техник",N5,1998,с.38-43;N6,1998,с.41-45).Они доказа-
ли,что Эйнштейн - нечистоплотный делец от науки:Эренфест в 1909г. оп-
роверг Эйнштейна,но,получив взятку от последнего в виде должности про-
фессора физики,"забыл" о своем опровержении."Тысячи" экспериментов в
защиту ТО оказались фиктивными.Из 5 попыток не было ни одной удачной.С
теорией относительности были несогласны многие советские уче-
ные(см.В.А.Ацюковский "Логические и экспериментальные основы теории
относительности" - М.:МПИ,1990г.),в последнее время к ним присоедини-
лись швейцарские и амеpиканские физики.
КОМПЛЕМЕНТАРНАЯ ЛОГИКА.БАЗИСЫ СИЛЛОГИСТИКИ
Силлогизмом называется умозаключение,в котором из двух данных
суждений(посылок),связанных общим(средним) термином,получается
третье(вывод,или заключение).Общеизвестное высказывание "в огороде бу-
зина,а в Киеве дядька" не является силлогизмом именно из-за отсутствия
среднего термина.Русская народная мудрость очень точно и образно опре-
делила самую суть силлогизма.
Современная силлогистика давно вызывает неудовлетворенность как
своим несоответствием Аристотелевой логике[1,3-6,9-15,18],так и нечет-
костью описания с точки зрения математической логики.Введение кванто-
ров не разрешило этих проблем.Поэтому предпринимались и предпринимают-
ся попытки ревизии аристотелевой силлогистики.Особенно интересны и
перспективны с точки зрения решения задач анализа и синтеза силлогиз-
мов работы русских ученых[9,18].
Для выражения любого умозаключения или посылки достаточно двух
конструкций(в скобках представлена краткая форма записи суждений) :
1)Все X суть Y(Axy);
2)Некоторые X суть Y(Ixy);
Однако традиционно в логике используются 4 базовых суждения(сил-
логистических функтора):
1)Все X суть Y(Axy) - общеутвердительный функтор;
2)Ни один X не есть Y(Exy) - общеотрицательный функтор;
3)Некоторые X суть Y(Ixy) - частноутвердительный функтор;
4)Некоторые X не суть Y(Oxy) - частноотрицательный функтор.
Из кругов Эйлера на основе методов минимизации логических функ-
ций[15] тривиально получены следующие соотношения:
Axy = (xy')' = x'+y
Exy = (xy)'= x'+y'
Здесь и далее апостроф означает отрицание.
Эти соотношения впервые выведены П.С.Порецким[17](правда,традици-
онная логика об этом до сих пор не догадывается)на основе рекурсии,но
они нигде не фигурируют и не применяются для анализа и синтеза силл-
гизмов.Физический смысл функторов Аху и Еху ни у кого не вызывают сом-
нений.Что касается суждений Ixy,Oxy,то здесь сложилась спорная ситуа-
ция.Здравый смысл и булева алгебра утверждают,что Oxy = (Ixy)',а в
традиционной логике[8] Oxy = (Axy)' и Ixy = (Exy)',что отнюдь не бесс-
порно и не убедительно.Однако примем на веру эти формулы,поскольку
именно их рекомендуют для запоминания студентам.
На этом основании мы получим следующие формулы для Ixy,Oxy:
Ixy = (Exy)' = xy
Oxy = (Axy)' = xy'
Прежде всего эти соотношения противоречат друг другу.По определе-
нию "Некоторые Х суть Y" и "Некоторые Х не суть Y" взаимно инверс-
ны,т.е. Ixy = (Oxy)',Oxy = (Ixy)'.А из последней формулы следует экви-
валентность суждений "Некоторые Х не суть Y" и "Некоторые Х суть не-
Y",что совсем не соответствует действительности.Кроме того частноотри-
цательное суждение вообще не имеет самостоятельного смысла,поскольку
является тривиальным отрицанием частноутвердительного высказывания.
Выборочная проверка при помощи кругов Эйлера "правильных" модусов
EIO 1-й - 4-й фигур,EAO,OAO 3-й фигуры и AAI,EAO 4-й фигуры также
подтвердила всю несостоятельность указанных соотношений.Аналитический
метод контроля силлогизмов дал такие же результаты.
Неудовлетворенность трактовкой частных суждений высказывалась еще
русским логиком Васильевым Н.А.[6]:"...частное суждение представляет
для логики значительные трудности,употребление его полно двусмыслен-
ности".
Попытаемся прояснить содержательный смысл соотношения Ixy.Круги
Эйлера не в состоянии отобразить все нюансы такого суждения.Поскольку
логические аргументы представляют из себя скаляры,максимальная длина
которых не может превышать "полной единицы"(универсума),т.е.
x+x'=1,введем понятие скалярных диаграмм и заменим ими круги Эйлера.
"Бытовой" логике,вероятно,более всего соответствует следующая
скалярная диаграмма.
x' x
----------===========
y y'
a)==============-------
y' y y'
b)-----==========------
Скалярная диаграмма не только определяет суждение Ixy как пересе-
чения множеств X и Y,но и отмечает различные ситуации этого пересече-
ния.Поскольку на наборе 00 функция z=f(x,y) может принимать значения
как 0,так и 1,то ей присваиваем значение возможности существования
i,т.е.значение "может быть".Значение "не может быть" является отрица-
нием для "может быть",поэтому естественно выразить его через i'=j.Зна-
чениям "да" и "нет" соответствуют 1 и 0.Такая вновь введенная четы-
рехзначная комплементарная(взаимодополняющая,взаимоинверсная) логика
адекватно отображает логику человеческого мышления и описывается сле-
дующими базовыми функциями:
-----T---T-----T-----T----T---T-----T-----¬
¦ ¦ _ ¦ ¦ ¦ ¦ _ ¦ ¦ ¦
¦ XY ¦ X ¦ X&Y ¦ X+Y ¦ XY ¦ X ¦ X&Y ¦ X+Y ¦
¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦
+----+---+-----+-----+----+---+-----+-----+
¦ 00 ¦ 1 ¦ 0 ¦ 0 ¦ i0 ¦ j ¦ 0 ¦ i ¦
¦ 0j ¦ 1 ¦ 0 ¦ j ¦ ij ¦ j ¦ 0 ¦ 1 ¦
¦ 0i ¦ 1 ¦ 0 ¦ i ¦ ii ¦ j ¦ i ¦ i ¦
¦ 01 ¦ 1 ¦ 0 ¦ 1 ¦ i1 ¦ j ¦ i ¦ 1 ¦
+----+---+-----+-----+----+---+-----+-----+
¦ j0 ¦ i ¦ 0 ¦ j ¦ 10 ¦ 0 ¦ 0 ¦ 1 ¦
¦ jj ¦ i ¦ j ¦ j ¦ 1j ¦ 0 ¦ j ¦ 1 ¦
¦ ji ¦ i ¦ 0 ¦ 1 ¦ 1i ¦ 0 ¦ i ¦ 1 ¦
¦ j1 ¦ i ¦ j ¦ 1 ¦ 11 ¦ 0 ¦ 1 ¦ 1 ¦
L----+---+-----+-----¦----+---+-----+------
Общее количество функций n от m переменных в b-значной логике оп-
ределяется по формуле n = b^(b^m),поэтому в комплементарной логике для
двух переменных получим n = 4^(4^2) = 4^16 = 2^32.
На комплементарную логику распространяются все законы обычной
двоичной логики,в том числе формула де Моргана и закон двойного отри-
цания.Минимизация в комплементарной логике мало чем отличается от ми-
нимизации в двузначной логике[12].
С аристотелевским определением частного суждения Ixy не согласны
многие логики.В работе [6] автор утверждает,что "научное употребление
слова "некоторые" совпадает с общеразговорным",т.е. с бытовым,а не
аристотелевским.Кроме того,Васильев Н.А. абсолютно правильно счита-
ет,что Ixy и Oxy должны считаться одним суждением.Он также заявляет:"В
математике так называемые частные суждения сводятся ... к общим,и она
прекрасно обходится без этого нелепого в совершенной науке слова "не-
которые".К этому же должна стремиться и всякая наука...Частное сужде-
ние нужно рассматривать вовсе не как какой-то вывод из общего сужде-
ния,а как особый вполне самостоятельный вид суждения,вполне координи-
рованный с общими суждениями,исключающий их и исключаемый любым из
них".С точкой зрения такого известного ученого трудно не согласиться.
Базис силлогистики
Под базисом силлогистики будем понимать всевозможные варианты
представления суждений Axy,Exy,Ixy.Суждение Oxy получается автомати-
чески из Ixy,поскольку является его отрицанием.
Все x суть y(Axy).
1.Традиционное представление этого суждения изображено на скаляр-
ной диаграмме,по которой заполнена таблица истинности.
x x'
===========---------- -----T---¬
y y' ¦ xy ¦Axy¦
==============------- +----+---+
¦ 00 ¦ 1 ¦
¦ 01 ¦ 1 ¦
¦ 10 ¦ 0 ¦
¦ 11 ¦ 1 ¦
L----+----
По таблице истинности синтезируем логическую функцию Axy:
Axy = (xy')' = x'+y
(Axy)' = xy'
Кстати,впервые аналитическое представление для Аху вывел на базе
рекурсии великий русский логик П.С.Порецкий при решении логических
уравнений.Здесь же необходимо вновь обратиться к уточнению смысла имп-
ликации.Дело в том,что x->y = x'+y = Axy.Но отсюда следует,что,если х
- истинно,то у - также истинно,поскольку "Все х суть у".
2.Традиционное представление Axy не исчерпывает все ситуации.Вто-
рая комбинация аргументов x,y изображена на диаграмме.
x' x -----T---¬
----------=========== ¦ xy ¦Axy¦
y' y +----+---+
a)-----================ ¦ 00 ¦ i ¦
y ¦ 01 ¦ 1 ¦
b)===================== ¦ 10 ¦ 0 ¦
¦ 11 ¦ 1 ¦
L----+----
Ситуация b,представленная на рисунке,может быть проиллюстрирована
следующим высказыванием:"Все люди смертны".Это справедливо при усло-
вии,что "мир"(универсум)-все живые существа,т.к.все живое-смертно.
С учетом вышеизложенного выражение для функции Axy примет
вид:
Axy = y+ix'y'
(Axy)' = xy'+jx'y'
3.Третий вариант суждения Axy изображен на нижеприведенных ска-
лярных диаграммах.По сравнению со вторым вариантом здесь добавлено
суждение "x эквивалентно y".
x' x
----------=========== -----T---¬
y' y ¦ xy ¦Axy¦
a)-----================ +----+---+
y ¦ 00 ¦ i ¦
b)===================== ¦ 01 ¦ i ¦
y' y ¦ 10 ¦ 0 ¦
c)----------=========== ¦ 11 ¦ 1 ¦
L----+----
Для ситуации "c" справедливо высказывание "Все люди владеют сло-
вом".Если весь "мир" - живые существа,то понятия "люди" и "говорящие
живые существа" эквивалентны.Из табл.3 получаем следующее соотношение:
Axy = xy+ix'
(Axy)' = xy'+jx'
Эти три варианта базиса для Axy не исчерпывают всех ситуаций,но в
силлогистике оставшиеся за пределами рассмотрения комбинации аргумен-
тов не являются решающими.
Ни один x не есть y(Exy).
1.Классическое представление Exy изображено на скалярных диаграм-
мах.
x x'
===========---------- -----T---¬
y' y ¦ xy ¦Exy¦
-------------======== +----+---+
¦ 00 ¦ 1 ¦
¦ 01 ¦ 1 ¦
¦ 10 ¦ 1 ¦
¦ 11 ¦ 0 ¦
L----+----
Из таблицы истинности имеем:
Exy = (xy)'
(Exy)' = xy
Аналитическое представление для Еху впервые в мире вывел русский
ученый П.С.Порецкий при решении логических уравнений.
2.Второй вариант суждения Exy представлен на рисунке.
x' x
----------=========== -----T---¬
y y' ¦ xy ¦Exy¦
a)======--------------- +----+---+
y y' ¦ 00 ¦ i ¦
b)==========----------- ¦ 01 ¦ 1 ¦
¦ 10 ¦ 1 ¦
¦ 11 ¦ 0 ¦
L----+----
Для иллюстрации ситуации "b" подходит высказывание "Ни один живой
не есть мертвый".
Из таблицы истинности имеем:
Exy = x'y+xy'+ix'y'
(Exy)' = xy+jx'y'
3.Третий вариант суждения Exy изображен на скалярных диаграммах.
x' x
----------=========== -----T---¬
y y' ¦ xy ¦Exy¦
a)======--------------- +----+---+
y y' ¦ 00 ¦ i ¦
b)===========---------- ¦ 01 ¦ i ¦
y' ¦ 10 ¦ 1 ¦
c)--------------------- ¦ 11 ¦ 0 ¦
L----+----
Высказывание "Ни один человек не бессмертен" иллюстрирует ситуа-
цию на диаграмме "c".Здесь "мир"-живые существа,а бессмертных существ
не бывает.
Из таблицы выводим соотношение:
Exy = xy'+ix'
(Exy)' = xy+jx'
Некоторые x суть y.
Лобачевский Н.И. создал "воображаемую геометрию".По образу и по-
добию великого русского геометра не менее великий русский логик Ва-
сильев Н.А. разработал "воображаемую логику".Мы попробуем разобраться
хотя бы в общеразговорной(бытовой) логике,тем более что частному суж-
дению Ixy уделено недостаточное внимание.
1.Первый вариант суждения Ixy представлен на рисунке.
x
================----- -----T---¬
y y' ¦ xy ¦Ixy¦
a)==============------- +----+---+
y y' ¦ 00 ¦ 1 ¦
b)==================--- ¦ 01 ¦ i ¦
y' y y' ¦ 10 ¦ i ¦
c)--------==========--- ¦ 11 ¦ 1 ¦
L----+----
Из таблицы истинности получим соотношение:
Ixy = xy+x'y'+i(xy'+x'y)
(Ixy)' = j(xy'+x'y)
2.Второй вариант суждения Ixy представлен на рисунке.
x' x
----------=========== -----T---¬
y' y y' ¦ xy ¦Ixy¦
a)-----==========------ +----+---+
y y' ¦ 00 ¦ i ¦
b)==============------- ¦ 01 ¦ 1 ¦
¦ 10 ¦ 1 ¦
¦ 11 ¦ 1 ¦
L----+----
Первой ситуации соответствует,например,такое суждение:"Некоторые
молодые люди - студенты".Здесь универсум - люди.
Для иллюстрации второй ситуации подходит такой пример:"Некоторые
млекопитающие не умеют говорить".Универсум - существа.Если в первом
случае студенты и молодые люди еще не составляют универсума,то во вто-
ром - млекопитающие и неговорящие существа дополняют друг друга до
универсума.
Из таблицы получим соотношение:
Ixy = x+y+ix'y'
(Ixy)' = jx'y'
Этот базис назван автором русским базисом.Он абсолютно согласует-
ся со здравым смыслом и имеет аналитическое представление.
3.Третий вариант суждения Ixy соответствует Аристотелевскому ба-
зису[19].B аристотелевой силлогистике под Ixy понимается любая комби-
нация понятий x,y,лишь бы пересечение этих понятий не было пус-
тым.Аристотелевой трактовке этого суждения соответствуют приводимые
ниже скалярные диаграммы.
x' x
----------=========== -----T---¬
y y' ¦ xy ¦Ixy¦
a)==============------- +----+---+
y' y y' ¦ 00 ¦ i ¦
b)-----==========------ ¦ 01 ¦ i ¦
y' y ¦ 10 ¦ i ¦
c)-----================ ¦ 11 ¦ 1 ¦
y' y L----+----
d)-------------========
Из таблицы получим соотношение:
Ixy = xy+i(x'+y')
(Ixy)' = j(x'+y')
4.Рассмотрим четветый вариант суждения Ixy.Этот базис получил
название несимметричного.
x' x
----------=========== -----T---¬
y' y ¦ xy ¦Ixy¦
a)-------------======== +----+---+
y' y y' ¦ 00 ¦ 1 ¦
b)-----==========------ ¦ 01 ¦ i ¦
¦ 10 ¦ 1 ¦
¦ 11 ¦ 1 ¦
L----+----
Ситуация "а" на рисунке иллюстрируется высказыванием "Некоторые
юристы(x) - выпускники юридических вузов(y)"(не-юристов юридические
вузы не выпускают).
Из таблицы получим соотношение:
Ixy = x+y'+ix'y
(Ixy)' = jx'y
5.Пятый вариант суждения Ixy представлен на рисунке.
x' x
----------=========== -----T---¬
y' y ¦ xy ¦Ixy¦
a)-------------======== +----+---+
y' y y' ¦ 00 ¦ i ¦
b)-----==========------ ¦ 01 ¦ i ¦
y y' ¦ 10 ¦ 1 ¦
c)==============------- ¦ 11 ¦ 1 ¦
L----+----
Ситуация "с" на рисунке иллюстрируется высказыванием "Некоторые
люди(x) суть неговорящие существа(y)"(не-люди тем более не разговари-
вают).Универсум - "живые существа".
Из таблицы истинности получим соотношение:
Ixy = x+ix'
(Ixy)' = jx'
6.Шестой вариант суждения Ixy представлен на рисунке.
x' x
----------=========== -----T---¬
y y' ¦ xy ¦Ixy¦
==============------- +----+---+
¦ 00 ¦ 0 ¦
¦ 01 ¦ 1 ¦
¦ 10 ¦ 1 ¦
¦ 11 ¦ 1 ¦
L----+----
Из таблицы получим соотношение:
Ixy = x+y
(Ixy)' = x'y'
7.Седьмой вариант функтора Ixy выглядит так:
x =======-------- -----T---¬
y1----=====------ ¦ xy ¦Ixy¦
y2=========------ +----+---+
y3---============ ¦ 00 ¦ i ¦
¦ 01 ¦ 1 ¦
Ixy = y+iy' ¦ 10 ¦ i ¦
Oxy = jy' ¦ 11 ¦ 1 ¦
L----+----
Безусловно здесь приведены не все возможные варианты представле-
ния силлогистических функторов Ixy.Желающие могут продолжить этот спи-
сок.
В работе Васильева Н.А. утверждается,что в общеразговорном базисе
из Ixy обязательно следует Ixy',т.е. Ixy -> Ixy'.Попытаемся решить это
логическое уравнение с целью синтеза суждения Ixy,удовлетворяющего
критерию Васильева.
В результате решения были получены следующие соотношения:
1)Ixy = x
2)Ixy = x+y+x'y' = 1
3)Ixy = x+ix'
Первое уравнение не является представлением функтора Ixy,посколь-
ку в нем отсутствует вероятностная составляющая;второе уравнение соот-
ветствует общеразговорному базису(восьмому по счету),а третье уравне-
ние - пятому базису.Общеразговорный базис(базис Васильева) изображен
на рисунке.Необходимо отметить,что русский и общеразговорный базисы
являются симметричными базисами,т.е. Ixy -> Iyx.
x' x
----------===========
y' y y'
-----==========------
Вопрос о выборе базиса должен решаться отдельно для каждого конк-
ретного силлогизма.
Для указания используемого базиса применяется нумерация,состоящая
из вариантов суждений в порядке Axy-Exy-Ixy.Например,для анализа сил-
логизмов в общем(неконкретном) виде автор предпочитает русский базис
1-1-2,который описывается следующими соотношениями:
Axy = (xy')'
Exy = (xy)'
Ixy = x+y+ix'y' = x+y+i
Этот базис назван автором русским базисом,т.к. он удовлетворяет
некоторым требованиям русского логика Васильева Н.А. относительно на-
учного и общеразговорного смысла силлогистического функтора Ixy.Вполне
естественно,что силлогистика,основанная на русском базисе,должна быть
названа русской силлогистикой.Необходимо отметить,что русский и обще-
разговорный базисы являются симметричными базисами,т.е. Ixy -> Iyx.
Кстати говоря,так называемые "жергонновы отношения"[19] могут
быть представлены следующими скалярными диаграммами.
x x' x' x
===========---------- ----------===========
y y' y y'
==============------- ==============-------
y y' y' y y'
===========---------- -----==========------
Axy y' y
-----================
x x' y' y
===========---------- -------------========
y' y Ixy
-------------========
Exy x' x
----------===========
y y'
============---------
y' y y'
-----==========------
y' y
------------=========
Oxy
-----T------¬ -----T------¬ -----T------¬ -----T------¬
¦ xy ¦ Axy ¦ ¦ xy ¦ Exy ¦ ¦ xy ¦ Ixy ¦ ¦ xy ¦ Oxy ¦
+----+------+ +----+------+ +----+------+ +----+------+
¦ 00 ¦ 1 ¦ ¦ 00 ¦ 1 ¦ ¦ 00 ¦ i ¦ ¦ 00 ¦ i ¦
¦ 01 ¦ i ¦ ¦ 01 ¦ 1 ¦ ¦ 01 ¦ i ¦ ¦ 01 ¦ i ¦
¦ 10 ¦ 0 ¦ ¦ 10 ¦ 1 ¦ ¦ 10 ¦ i ¦ ¦ 10 ¦ 1 ¦
¦ 11 ¦ 1 ¦ ¦ 11 ¦ 0 ¦ ¦ 11 ¦ 1 ¦ ¦ 11 ¦ i ¦
L----+------- L----+------- L----+------- L----+-------
На основе скалярных диаграмм получены таблицы истинности,по кото-
рым построены логические функции для базиса Аристотеля-Жергонна.
Axy = xy+x'y'+ix'y
Exy = (xy)'
Ixy = xy+i(x'+y')
Oxy = xy'+i(x'+y)
Утверждать,что этот базис отражает общеразговорную логику,было бы
опрометчиво.
Полученные соотношения позволяот построить логику без кванторов,
префикс-дизъюнктов и префикс-конъюнктов[5].С помощью базисных формул
можно выполнять все операции над силлогизмами,т.е. находить аналити-
ческое решение задач,связанных с силлогизмами. Для того,чтобы прове-
рить заключение,нужно выполнить алгоритм "Осташ".